σ-algebra
Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
En familie 
av delmengder av mengden X kalles en sigma-algebra dersom
og X er med i - Hvis A er med i så er komplementet
også være med i - Hvis
er en samling av mengder i er også unionen 
med i
Egenskap 1 følger fort fra de to andre: Tar vi en vilkårlig mengde A i har vi at komplementet Ac er i ved egenskap 2, og ved egenskap 3 får vi at da må unionen 
og dens komplement være i .
[rediger] Eksempel
Den enkleste σ-algebraen på en gitt mengde X er den trivielle: 
, for en delmengde A av X. Går vi til den andre enden av skalen er den største σ-algebraen på en gitt mengde samlingen av alle delmengder av X, 
.
La X = 1,2,3,4,5,.... være mengden 
av alle naturlige tall, og la familien bestå av de 4 delmengdene , 1,3,5,.... (alle oddetall) 2,4,6,... (alle partall) samt X selv. er da en sigma-algebra.
En svært viktig σ-algebra er Borel σ-algebraen. Denne definerer vi som σ-algebraen generert av alle de åpne mengdene på en mengde X. Dersom vi betrakter de reelle tallene vil da de åpne mengdene være åpne intervaller, og dermed kan vi skrive 
. Ved egenskapene 2 og 3 kan vi vise at også de lukkede mengdene, de halvåpne mengdene og åpne og lukkede stråler genererer Borel σ-algebraen. Igjen for de reelle tallene får vi da at Borel σ-algebraen også er generert av [a,b],[a,b),
og 
.
[rediger] Referanser
Bartle, Robert G: The Elements og Integration and Lebesque Measure. Wiley Classics Library
