Magma (wiskunde)
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
| Algebraïsche structuren |
|---|
Een magma of groepoïde is in de wiskunde een niet-lege verzameling voorzien van een binaire operatie, ook samenstelling of compositie genoemd. Een magma als zodanig wordt niet veel bestudeerd, maar een magma levert vanwege de aanwezige bewerking, de basisstructuur voor rijkere structuren in de algebra. De term magma werd geïntroduceerd door Bourbaki.
Een magma noteert men als het paar (M,*), waarin M de verzameling is en * de binaire bewerking.
De enige structuur in M is dus de binaire bewerking *, die aan twee elementen a en b in M het element a*b in M toevoegt.
Het aantal elementen van een magma wordt de orde van de magma genoemd en genoteerd als |M| of #M.
Eindige magma's kan men volledig voorstellen in een zogenaamde Cayley-tabel, die de resultaten van de bewerking opsomt.
[bewerk] Enkele voorbeelden
- De natuurlijke getallen met de optelling, genoteerd als
, is een magma. - De gehele getallen met de aftrekking, genoteerd als
, is een magma. - De natuurlijke getallen met de aftrekking, genoteerd als
is géén magma, want bv. voor a = 4, b = 8 gaat de eigenschap van overal gedefinieerd niet op (4 - 8 < 0).
[bewerk] Vrij magma
Voor elke niet-lege verzameling X kan men het vrij magma over X definiëren als het "meest algemeen mogelijke" magma dat door X wordt voortgebracht. Het kan beschreven worden als het magma van alle eindige bomen met de bladeren in X. De compositie a*b van twee bomen a en b is de boom waarvan de wortel a als linker onderboom en b als rechter onderboom heeft. men kan elk element van het vrije magma noteren als uitdrukking in de elementen van X en haakjes. Zo bevat bijvoorbeeld voor X = {a,b,c} het vrije magma over X onder meer de elementen:
- a, b, c, ab, ba, (ab)c, a(bc), (aa)(bb), (a(ab))b, (ab)(ab), enz.
