Cayley-tabel
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Een Cayley-tabel is een eenvoudige wiskundige structuur, waarin je een eindig aantal elementen met een operatie * kan gaan voorstellen. Zij zijn genoemd naar de Engelse wiskundige Arthur Cayley.
Een Cayley-tabel wordt als volgt algemeen voorgesteld voor de verzameling 
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
 |
 |
 |
|
 |
|
 |
 |
 |
|
 |
|
 |
 |
 |
|
 |
 |
|
|
|
 |
|
|
 |
 |
 |
|
 |
Aan de hand van deze tabel kunnen de voornaamste eigenschappen van een groep achterhaald worden.
- Betreft het een inwendig en overal gedefinieerde bewerking?
- Wat is het neutraal element?
- Welke zijn de inverse elementen?
- Geldt de commutativiteit?
Door de Cayley tabellen van twee groepen te vergelijken, is te bepalen dat zij isomorf zijn.
[bewerk] Voorbeelden
- De verzameling van
met de bewerking vermenigvuldiging.
 |
 |
 |
|
 |
 |
|
|
|
-
- Het betreft een inwendig en overal gedefinieerde bewerking, alle elementen in de tabel zijn immers ∈ {1, − 1}
- Het neutraal element is hier 1, dit kan afgeleid worden door in de tabel een rij en kolom te zoeken die overeenstemt met de verzameling en zijn overeenkomstige waarde te nemen, in dit voorbeeld zoeken we dus 1, − 1 in de tabel, wat we terug vinden in de 2ste rij en de 2ste kolom. De overeenkomstige waarde van de 2de rij is 1, wat ook de overeenkomstige waarde van de 2de kolom is. Het neutraal element is dus 1.
- De inverse elementen zijn voor 1, 1 en voor -1, -1. Dit kan worden gevonden door in de tabel te kijken welke elementen samen het neutrale element vormen.
- Commutativiteit geldt, de tabel is immers symmetrisch ten opzichte van de hoofddiagonaal.
- De verzameling van
met de bewerking optelling.
 |
|
 |
 |
|
 |
 |
 |
|
|
|
 |
|
|
|
 |
-
- Het betreft géén inwendig en overal gedefinieerde bewerking, 4, 5 en 6 zijn immers
- Het betreft géén inwendig en overal gedefinieerde bewerking, 4, 5 en 6 zijn immers
