Nicolas Bourbaki

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Nicolas Bourbaki is de naam van een groep van voornamelijk Franse wiskundigen uit de 20e eeuw die, beginnend in 1935, een reeks boeken schreven waarin zij de moderne wiskunde uiteenzetten, met het doel de hele wiskunde te baseren op de verzamelingenleer. De groep streefde uiterste strengheid en algemeenheid na, en introduceerde veel nieuwe termen en begrippen.

De groep heet officieel Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki en heeft een kantoor in de École Normale Supérieure in Parijs. Onder wiskundigen is het gewoon over Nicolas Bourbaki te spreken als over een persoon, en zelfs was er wel eens twijfel of deze echt bestond.

[bewerk] Boeken

Met de bedoeling een volledige behandeling te geven van de moderne wiskunde gebaseerd op de verzamelingenleer, produceerde Bourbaki de volgende boeken:

I Théorie des ensembles over verzamelingenleer
II Algèbre over de algebra
III Topologie générale over topologie
IV Fonctions d'une variable réelle over functies van één reële variabele
V Espaces vectoriels topologiques over topologische vectorruimten
VI Intégration over integratie
VII Algèbre commutative over commutatieve algebra
VIII Groupes et algèbres de Lie over Lie-groepen

Het boek Variétés différentielles et analytiques was een overzicht van resultaten op het gebied van variëteiten, anders dan een volledige behandeling van de theorie. Een laatste deel IX, Théories spectrales, over spectraaltheorie, uit 1983 betekende het vermoedelijke einde van de serie uitgaven, hoewel aan het einde van 20e eeuw nog een overzicht van resultaten op het gebied van commutatieve algebra is verschenen.

De boeken van Bourbaki zijn standaardwerken op hun terrein geworden, maar zijn vanwege de droge, precieze behandeling van de theorie, ongeschikt om als leerboeken gebruikt te worden.

Van Bourbaki stamt het symbool $\varnothing$ voor de lege verzameling, en de termen injectie, surjectie, en bijectie.

Vaak wordt gedacht dat het gebruik van de zgn. "blackboard bold" letters voor de verschillende getalverzamelingen ook door Bourbaki ingevoerd zou zijn. Dit is echter bijna zeker niet het geval, want: (1) de symbolen staan niet in de publicaties van Bourbaki rond het moment dat zij elders gebruikt worden, zoals in getypte "lecture notes" van Princeton University (door de letters R en C met een I te overtypen), en in het leerboek van Gunning en Rossi over complexe variabelen; (2) Jean-Pierre Serre, een lid van Bourbaki, heeft zich publiekelijk uitgesproken tegen het gebruik ervan anders dan op een bord.

[bewerk] Invloed op de wiskunde

De nadruk op strengheid van Bourbaki kan gezien worden als een reactie op het werk van Jules-Henri Poincaré, die het belang van de vrijstromende wiskundige intuïtie onderstreepte, ten koste eventueel van de volledigheid. Het werk van Bourbaki had wereldwijd invloed op het wiskundig onderzoek.

Er waren ook negatieve reacties, voornamelijk van de kant van de klassieke analyse, die wel de strengheid goedkeurden, maar niet de hoge graad van abstractie.

De invloed van Bourbaki is met de tijd afgenomen. Gedeeltelijk komt dit doordat sommige van de abstracties niet zo nuttig bleken te zijn als aanvankelijk werd gedacht, en ook doordat begrippen die tegenwoordig van belang zijn, zoals de categorie theorie, niet behandeld worden. De theorie van algebraïsche structuren kan redelijk goed geformuleerd worden in Bourbakistische termen, hoewel wiskundige structuren in de boeken niet uitvoerig aan de orde komen.

[bewerk] De groep

Verhalen over de eerste tijd verschillen nogal, maar er verschijnen nu originele documenten. Onder de oprichters die alle verbonden waren aan de École Normale Supérieure in Paris bevonden zich: Henri Cartan, Claude Chevalley, Jean Coulomb, Jean Delsarte, Jean Dieudonné, Charles Ehresmann, René de Possel, Szolem Mandelbrojt en André Weil. aan het eind van 1934 vond er een bijeenkomst plaats (de notulen bevinden zich in het Bourbaki-archief; een volledig beschrijving van deze bijeenkomst door Liliane Beaulieu is te vinden in de Mathematical Intelligencer) waarbij ook Jean Leray en Paul Dubreil aanwezig waren, die echter voor de groep echt gevormd was, afvielen. Anderen die in die dagen deelnamen waren: Laurent Schwartz, Jean-Pierre Serre, Alexander Grothendieck, Samuel Eilenberg, Serge Lang en Roger Godement.

De oorspronkelijke doelstelling van de groep was een verbeterde tekst samen te stellen van de analyse. Al spoedig echter werd er besloten dat een zorvuldige behandeling van alle wiskunde nodig was. Er was geen officiële vorm van lidmaatschap, maar men moest de groep verlaten na de 50e verjaardag. De groep deed in die tijd tamelijk geheimzinnig en hield ervan verkeerde informatie over de groep te geven Er waren regelmatig bijeenkomsten, waarop de hele groep stevig discussieerde over elke voorgestelde regel in een boek.

De sfeer in de groep kan geïllustreerd worden door een anekdote verteld door Schwartz. Dieudonné dreigde geregeld met veel spektakel de groep te verlaten als bepaalde onderwerpen niet in de juiste logische volgorde behandeld zouden worden. De anderen haalden hiermee een grap uit toen de vrouw van Godement wel eens wilde zien hoe Dieudonné weer z'n vertrek zou aankondigen. Toen zij een keer aanwezig was, bracht Schwartz met opzet opnieuw de kwestie ter sprake de volgorde waarin de maattheorie en de topologische vectorruimten behandeld zouden worden, om te draaien. Wat gegarandeerd een crisis teweegbracht.

Een ander voorbeeld van de humor van de leden met betrekking tot het pseudoniem, is hun reactie op een artikel geschreven door R P Boas, de hoofdredacteur van de Mathematical Reviews. Boas legt daarin uit dat Nicolas Bourbaki het pseudoniem is voor een groep jonge Franse wiskundigen. Al snel daarop ontving de uitgever van Boas' artikel een brief van Nicolas Bourbaki waarin deze in krachtige bewoordingen bezwaar maakte dat zijn bestaansrecht in twijfel was getrokken. Bourbaki zet daarna in zijn brief uiteen dat de BOAS niets anders was dan een pseudoniem voor de redacteuren van de Mathematical Reviews.

De naam "Bourbaki" stamt van een Franse generaal Charles Denis Sauter Bourbaki die in de Frans-Pruissische oorlog verslagen werd. De groep koos deze naam als verwijzing naar een studentengrap, bijgewoond door de eerste jaars Weil, waarin een ouderejaarsstudent verkleed als een merkwaardige buitenlander met een zwaar accent een nonsenslezing over wiskunde hield, met onzinnige stellingen toegeschreven aan verzonnen wiskundigen en als apotheose de lachwekkende "stelling van Bourbaki". Mogelijk verwijst de naam ook naar een standbeeld. Zeker is het een verwijzing naar de wiskunde uit de Griekse oudheid, temeer daar Nicolas verwijst naar een Griekse held van wie generaal Bourbaki afstamt.