Теорија на веројатност
Од Википедија, слободна енциклопедија
Теорија на веројатност е математичко изучување на веројатноста.
Математиката ја предочува веројатноста на некој настан (чие настапување е случајно) како реален број од затворениот интервал од 0 до 1. Веројатностите P(A) им се препишуваат на настани A според аксиомите на веројатноста.
Веројатноста дека тој настан A ќе се случи под услов на познатото случување на настанот B е условна веројатност на A под услов B; неговата нумеричка вредност е (сè додека P(B) не е нула). Ако условната веројатност на A под услов B и иста што и („безусловната“) веројатност на A, тогаш A и B се нарекуваат независни настани. Дека оваа релација помеѓу A и B е симетрична, може веднаш да се види преку фактот дека тоа е исто што и каде A и B се независни настани.
Два клучни концепти во теоријата на веројатноста се случајната променлива и распределбата на веројатноста на случајна променлива.
[уреди] Поапстрактен поглед на веројатноста
Математичарите обично ја сметаат теоријата на веројатноста за изучување на простори на веројатноста и случајни променливи — пристап воведен од Колмогоров во 1930-тите. Простор на веројатност е секоја тројка , каде
- Ω е непразно множество (наречено „примерочен простор“), секој од чии членови се смета за потенцијален исход на еден експеримент. На пример, ако треба да извлечеме случајни 100 гласачи од сите гласачи и ги прашаме за кого ќе гласаат, тогаш множеството на сите низи на 100 гласачи би бил примерочниот простор Ω.
- е σ-алгебра на подмножества на Ω - неговите членови се наречени „настани“. на пример, множеството од сите низи од 100-те гласачи во кое најмалку 60 ќе гласаат за Х се поистоветува со „настанот“ во кој најмалку 60 од 100-те избрани гласачи ќе гласаат така. Да се каже дека е σ-алгебра подразбира по дефиниција дека содржи Ω, дека комплементот на секој настан е настан, и дека унијата од било која (конечна или бесконечна) низа на настани е настан.
- P е мера на веројатност на , т.е., мера кај која P(Ω) = 1.
Треба да се спомене дека P е функција дефинирана на , а не на Ω, и често не сочинуваат ни булеан . Не секое множество исходи претставува настан.
Ако Ω е преброиво множество, тогаш речиси секогаш го дефинираме како булеан на Ω, т.е. кој тривијално е σ-алгебра и можеме да го создадеме најголемото со Ω. Така, во дискретен простор можеме да го испуштиме и да напишеме само (Ω,P) за да го дефинираме. Во друг случај, ако Ω е неизброиво множество и користиме , тогаш се јавува проблем со дефинирањето на мерата на веројатноста P заради тоа што е премногу ,голем', т.е. пречесто ќе се јавуваат множества на кои би било незовможно да им се препише уникатна мера, отворајќи проблеми како Банах-Тарсковиот парадокс. Значи мораме да користиме помала σ-алгебра (на пр. Борелова алггебра на Ω, која е најмалата σ-алгебра со која сите отворени множества се измерливи).
Случајна променлива X е измерлива функција на Ω. На пример, бројот на гласачите кои ќе гласаат за Х од споменатиот примерок од 100 е случајна променлива.
Ако X е било која случајна променлива, нотацијата , е стенографија за , под претпоставка дека „“ е „настан“.
За алгебарската алтернатива на Колмогоровиот пристап, видете алгебра на случајни променливи.
[уреди] Бибилографија
- Pierre Simon de Laplace (1812) Analytical Theory of Probability
- Andrei Nikolajevich Kolmogorov (1950) Foundations of the Theory of Probability
- Harold Jeffreys (1939) The Theory of Probability
- Edward Nelson (1987) Radically Elementary Probability Theory
- Patrick Billingsley: Probability and Measure, John Wiley and Sons, New York, Toronto, London, 1979.
- Henk Tijms (2004) Understanding Probability
Главни полиња на математиката | Уредете |
---|---|
Алгебра | Апстрактна алгебра | Линеарна алгебра | Анализа | Функционална анализа | Нумеричка анализа | Виша анализа | Геометрија | Диференцијални равенки | Теорија на категориите | Комбинаторика | Алгебарска геометрија | Логика | Оптимизација | Статистика | Теорија на броевите | Теорија на множествата | Веројатност | Топологија | Алгебарска топологија |