Bigezziú

Da Wikipedia.

Artícuj relazziunaa a matemàtica

Cheest artícul al è scrivüü in Koiné matemàtica, urtugrafía ünificada.

Nota: La pàgina la gh'a büsögn də mejurameent də cuntegnüü o də stiil:

Remplazzá ul còdas HTML pal TeX

Una funziú $f:X\to Y$ a l’è cjamada bigetiva u a l’è una bigezziú si par tütt y íntal cungjuunt da rivada Y al esiist ü e noma ü x íntal cungjuunt da definizziú X taal che $f (x) = y$ Sa diis apò in cheest caas che cada elemeent y da Y al amet un ünich antecedeent x (par f).

Da manera equivalenta, una bigezziú a l’è una funziú ch’a l’è cuntempuraniameent ingetiva e sürgetiva. Le bigezziú i è apó cjamade da le aplicazziú biunívuche.

Cura che X e Y i è töcc i düü iguaj a la drita reala $\mathbb R$ , una funziú bigetiva $f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ la gh'a un graaf ch’al intersega cada drita urizuntala in esatameent un puunt.

Si X e Y i è di cungjuunt finii, alura al esiist una bigezziú intra i düü cungjuunt X e Y ssi X e Y i gh’a l istess nümar d’elemeent. La generaalizazziú da cheest chí aj cungjuunt infinii la porta al cuncet da cardinaal d’un cungjuunt, una manera da distinguí le diferente taje infinide da cungjuunt infinii.

[Mudifica] Esempi cuncrett

Cjapemm ul caas d'una stazziú da vacanze indúe un grup da turiist al gh’a da vess lugaa int un hôtel. Cada manera da repartí chiist turiist in le cambre dal hôtel la pöö vess representada par una aplicazziú dal cungjuunt di turiist veers ul cungjuunt da le cambre (a cada turista a l’è sucjada una cambra).

I turiist i vöör che l'aplicazziú la síes ingetiva, i.e. che ognidü da luur al gh'àbies una cambra individüala’’. Cheest chí al è pussíbil noma si ul nümar da turiist al sürpassa mia ul nümar da cambre.
L'hôteliée al vöör che l'aplicazziú la síes sürgetiva, i.e. che cada cambra la síes ucüpada. Cheest chí al è pussíbil noma si a gh’è taant da turiist che da cambre.
Chiist desiderata i è incumpatíbil si ul nümar da turiist al è difereent dal nümar da cambre. Íntal caas cuntrari, al sarà pussíbil da repartí i turiist da tala sorta che i ghe n àbies noma ü par cambra, e che tüte le cambre i síes ucüpade : l'aplicazziú la sarà alura cuntempuraniameent ingetiva e sürgetiva ; sa dira che ela a l’è bigetiva.

[Mudifica] Esempi e cuntra-esempi

Cunsideremm la funziú $f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ definida par $f (x) = 2 x + 1$ , Chesta funziú a l’è bigetiva, gja che par tütt nümar reaal arbitrari daa y, sa la pöö truvá esatameent una sulüzziú reala da l’equazziú $y = 2 x + 1$ , d’incògnita x a savé $x=\frac{y-1}{2}$ .

D’altra banda, la funziú $g:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ definida par $f (x) = x 2$ a l’è mia bigetiva, par essenzialameent düü resú diferente. La prima a l’è che, a gh'emm (par esempi) g(1) = 1 = g(−1), e dunca g al è mia ingetiva; la seguunda a l’è che a gh’è (par esempi) nissü nümar reaal x taal che x² = −1, e dunca g a l’è gnanca sürgetiva. L’una u l’otra da cheste cunstatazziú a l’è assée par mustrá che g a l’è mia bigetiva.

D’otra banda, si a definíssumm la funziú $h:\mathbb R_+ \rightarrow \mathbb R_+$ par la istessa relazziú che g, però cuj cungjuunt da definizziú e da rivada restrecc a $\mathbb R_+$ , alura la funziú h a l’è bigetiva. L’esplicazziú a l’è che, par un nümar reaal pusitiif daa y, sa l pöö truvá esatameent una sulüzziú reala pusitiva da l’equazziú y = x² ch’a l’è $x=\sqrt{y}$ .

[Mudifica] Prupietaa

Una funziú f: X → Y al è bigetiva si e noma si al esiist una funziú g: Y → X tala che $g\circ f$ al síes l’aplicazziú idéntica sü X e $f\circ g$ al síes l’aplicazziú identica sü Y. I bigezziú i è precisameent i isomurfiism in la categuria di cungjuunt. In cheest caas, g al è determinada da manera ünica par f e a apelemm g l’aplicazziú recípruca da f e a scrivemm f ⁻¹ = g. Da plüü, g al è apó una bigezziú , e la recípruca da g al è f da nööf.
Si f o g al è bigetiva, alura f al è sürgetiva e g al è ingetiva.
Si f e g i è tüte düü bigetive, alura f o g al è apó bigetiva.
Si X al è un cungjuunt, alura le funziú bigetive da X sü sí-istess, i furma cun l’uperazziú da cumpusizziú da le aplicazziú (o), un grup, ul grup di permütazziú da X, ch’al è netaa indiferentameent S(X), S_X, σ_X u σ(X).