Quantitas imaginaria

E Vicipaedia

Pagina usque elaboratur...

Haec pagina nondum perfecta in manibus auctoris est. Ideo rogaris ut minora quidem mutes hic, maiora autem prius disputes illic.
Si vero auctor ipse nil mutaverit his diebus septem, hanc formulam audacter dele.

Illustratum planum complexum. Quantitates imaginaria sunt in axe directo.

Quantitas imaginaria, vel numerus imaginarius, est numerus complexus cuius potestas quadrata est numerus negativus.

Hieronymous Cardanus primus fuit qui finxit numeros imaginarios, at non perintellexit. Eos proposuit adhibendos ad problemata cubica, sicut x3 + ax = b, solvenda in expositione sui libri de algebra, Artis Magnae, anno 1545.^[1]

[recensere] Definitio

Ullus numerus complexus datus, z, scribi potest

$z = x + iy ,\$

ubi $x\$ et $y\$ sunt numeri reales et $i$ quantitas imaginaria, quae conplet formulam:

$i^2 = -1.\$

ergo:

${-1} = i \cdot i = \sqrt{{-1}} \cdot \sqrt{{-1}} = \sqrt{{-1} \cdot {-1}} = \sqrt{1} = 1$

Scripsit huius rationem simpliciter anno 1781 Nicolaus Fuss, mathematicus Suecicus qui sub Leonhardo Eulero laboravit, "Tentamen demonstrationis quod onmis quantitas imaginaria ad formam A + B(√—1) reduci possit." ^[2]

Tametsi Renatus Cartesius ab intio dixit "numerum imaginarium" esse quempiam numerum complexum, hodie quantitas imaginaria est numerus complexus cuius pars realis valet 0, ergo B(i)

[recensere] Plus aequationum

$i^2= (i)^2 =-1 \ ,$

$i^3 = i^2 i = (-1) i = -i \ ,$

$i^4 = i^3 i = (-i) i = -(i^2) = -(-1) = 1 \ ,$

$i^5 = i^4 i = (1) i = i \ ,$

[recensere] Historia

Ut super scriptum, Hieronymus Cardanus prius finxit numero imaginarios, anno 1545 at confessus est non bene eos intelligere.

Raphael Bombelli primus quantitates imaginarias bene descripsit anno 1572, in sua Algebra^[3]

Prius quantitates imaginariae, sicut cifra et numeri negativi, putabantur nugae esse. Multi fuerunt mathematici qui aestimabant eas esse vel falsas vel inutiles. Renatus Cartesius scripsit de eis in sua Geometria, ubi appellatio ferit quasi irrisio.^[4]

Nihilominus, etiam Cartesius vidit utilitatem: "Quemadmodum , tametsi tres imaginari possimus in hac , x3—6xx+13x—10 = 0 ; tamen una tantùm est realis; nempe 2; & quod ad reliquas duas attinet, quamvis illæ augeantur , diminuantur, aut multiplicentur, sicut jam exposui ; tamen non nisi imaginariæ fieri possunt."^[5]

[recensere] De usu i

Leonhardus Eulerus (1707-1783) incepit uti i pro quantitate imaginaria anno 1777 in scriptis suis at non editis ante, Eulero mortuo, 1794, in suo Institutione calculi integralis.

5 Maii, 1777, Eulerus scripsit ad Academiam commentationem De Formulis Differentialibus Angularibus maxime irrationalibus quas tamen per logarithmos et arcus circulares integrare licet, quae etiam edita est in Institutione calculi integralis.^[6]^[7]

"Quoniam mihi quidem alia adhuc via non patet istud praestandi nisi per imaginaria procedendo, formulam √-1 littera i in posterum designabo, ita ut sit ii = -1 ideoque 1/i = -i."
"Cum enim numerorum negativorum Logarithmi sint imaginarii (...) erit log(-n) quantitas imaginaria, quae sit = i."

[recensere] Fontes

↑ Hieronymus Cardanus Artis Magnae. 1545.
↑ Nicolaus Fuss. Acta. Z 4662-5,1, ex pagina 5. 1781
↑ Raphael Bombellus L'Algebra. 1572. (Italice scripta)
↑ Albertus A. Martinez. Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent. Universitas Princetonia. 2005. (Anglice scripta)
↑ Renatus Cartesius. Geometria. III p. 76
↑ Leonhardus Eulerus. De Formulis Differentialibus Angularibus maxime irrationalibus quas tamen per logarithmos et arcus circulares integrare licet, ed. 2, vol. 4, pp. 183-194. Impensis Academiae Imperialis Scientiarum. Petropoli. 1794
↑ Constantium explicatio (Anglice scripta)