Φανταστικός αριθμός

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στα μαθηματικά, ένας φανταστικός αριθμός (ή καθαρά φανταστικός αριθμός) είναι ένας μιγαδικός αριθμός, το τετράγωνο του οποίου είναι ένας αρνητικός πραγματικός αριθμός. Ο όρος πλάστηκε από τον Ρενέ Ντεκάρτ το 1637 στο έργο του "Η Γεωμετρία" (La Géométrie) και είχε κάπως υποτιμητική σημασία. Το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού, είτε θετικός είναι είτε αρνητικός, είναι πάντα ένας θετικός αριθμός. Συνεπώς, αριθμοί με τις ιδιότητες των φανταστικών αριθμών θεωρούνταν εκείνη την εποχή ότι δεν μπορεί να "υπάρχουν" πραγματικά, όπως άλλωστε και το μηδέν και οι αρνητικοί αριθμοί θεωρήθηκαν κατά καιρούς από κάποιους ως πλασματικοί ή άχρηστοι.

Μπορεί κανείς να θεωρήσει τους φανταστικούς αριθμούς ως μια επέκταση του συνόλου των πραγματικών αριθμών και ως μια "μαθηματική αφαίρεση".

[Επεξεργασία] Ορισμός

Κάθε μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφτεί στη μορφή $a + b i$ , όπου $a$ και $b$ είναι πραγματικοί αριθμοί και $i$ είναι η φανταστική μονάδα με την ιδιότητα:

$i^2 = -1\, \Longleftrightarrow i = \sqrt{-1}$

δηλαδή, η φανταστική μονάδα έχει την ιδιότητα να αποτελεί την τετραγωνική ρίζα του αριθμού (-1).

Ο αριθμός $a$ είναι το πραγματικό μέρος του μιγαδικού αριθμού, ενώ ο $b$ είναι το φανταστικό μέρος. Μολονότι ο Ντεκάρτ χρησιμοποίησε αρχικά τον όρο "φανταστικός αριθμός" για να υποδηλώσει αυτό που ονομάζουμε σήμερα "μιγαδικό αριθμό", ο όρος "φανταστικός αριθμός" σήμερα σημαίνει συνήθως τον μιγαδικό αριθμό με πραγματικό μέρος ίσο με το $0$ , δηλαδή έναν αριθμό της μορφής $b i$ . (Μερικές φορές λέμε ότι οι φανταστικοί αριθμοί είναι "τα πολλαπλάσια της φανταστικής μονάδας"). Ας σημειωθεί ότι, τυπικά, το $0$ θεωρείται καθαρά φανταστικός αριθμός: το $0$ είναι ο μόνος μιγαδικός αριθμός που είναι ταυτόχρονα πραγματικός και καθαρά φανταστικός.

[Επεξεργασία] Οι φανταστικοί αριθμοί στην πράξη

Παρά το παραπλανητικό τους όνομα, οι φανταστικοί αριθμοί είναι όχι μόνο υπαρκτοί αλλά και πολύ χρήσιμοι, με εφαρμογή στον ηλεκτρισμό, στην επεξεργασία σημάτων και σε πολλές άλλες εφαρμογές. Η πολική μορφή των μιγαδικών αριθμών τους καθιστά ιδανικούς για την αναπαράσταση περιστρεφόμενων διανυσμάτων και φάσεων και συνεπώς χρησιμοποιούνται ευρύτατα στην ηλεκτρονική (για την αναπαράσταση εναλλασσόμενων ρευμάτων), στην κυματική και γενικά στη μελέτη των περιοδικών φαινομένων.

[Επεξεργασία] Mία αλγεβρική συμφορά

Η λεξη «φανταστικος» αποτελει μεγαλη αλγεβρικη συμφορα, αλλα είναι σε τετοιο βαθμο εδραιωμενη που δεν μπορουν οι μαθηματικοι να την ξεριζωσουν.Δεν θα πρεπε να είχε χρησιμοποιηθει ποτε. Βιβλια στοιχειωδους αλγεβρας δινουν μια απλη ερμηνεια των φανταστικων αριθμων-ιδιαιτερα ρεαλιστικη-στην γλωσσα των στροφων. Ετσι, αν ερμηνευσουμε τον πολλαπλασιασμο ic (οπου c πραγματικος) ως στροφη του τμηματος Οc γυρω από το Ο κατά ορθη γωνια, το Οc στρεφεται και συμπιπτει με τον αξονα Οy, ενας επόμενος πολλαπλασιασμος με i, συγκεκριμενα iic, στρεφει το Οc κατά μια ακομη ορθη γωνια και τελικα το +Οc γινεται -Οc. Ως πραξη ο πολλαπλασιασμος με ii εχει το ιδιο αποτελεσμα με τον πολλαπλασιασμο με -1, ο πολλαπλασιασμος με i εχει το ιδιο αποτελεσμα με τη στροφη κατά ορθη γωνια. Αυτές οι ερμηνειες, όπως ειδαμε, είναι συνεπεις.Αν επιθυμουμε μπορουμε να γραψουμε ii=-1 -oταν κανουμε πραξεις- ή i²=-1, oπότε η πραξη της στροφης κατά ορθη γωνια συμβολιζεται με τετραγωνικη ριζα του -1. Oλα αυτά βεβαια δεν αποδεικνυουν τιποτε.Aλλωστε δεν υπαρχει τιποτα για να αποδειχτει.Απλως δινουμε στα συμβολα και στις πραξεις της αλγεβρας διαφορες σημασιες που οδηγουν σε μεταξυ τους συνεπεια. Ωστοσο η μεθοδος των στροφων υποδηλωνει πως δεν υπαρχει τιποτα το μυστικιστικο γυρω από τους ατυχεστατα αποκαλουμενους «φανταστικους».πηγή: http://www.mathsforyou.gr