多角数定理

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多角数定理（たかくすうていり、polygonal number theorem）とは、「すべての自然数は高々 m 個の m 角数の和である」という数論の定理である。m=3の場合を三角数定理、m=4の場合を四角数定理というが、五角数定理といえば全く別のオイラーの五角数定理を指す。多角数定理は1638年にフェルマーによって定式化されたが、三角数については1796年にガウスによって、四角数については1772年にラグランジュによって、一般には1813年にコーシーによって証明された。

[編集] 多角数

k 番目の m 角数とは次の公式

$P_m(k)=\frac{(m-2)k^2-(m-4)k}{2}$

で与えられる数のことである。直観的には、たとえば石を、一辺に k 個ある正 m 角形の形に敷き詰めて並べることができるとき、石の総数がk 番目の m 角数になっている。

これは古代ギリシャ人たちが名づけた名前であって、素数はどのような図形にも並べることができないことから、直線数とも呼ばれていた。

例えば、三角数とは 1, 3, 6, 10, 15, ... のことである。また四角数は平方数の列 1, 4, 9, 16, ... に他ならない。1番目の m 角数は1であり、2番目の m 角数は m である。

[編集] 精密化

N=2m-1を表すにはPm(2)+(m-1)Pm(1)とするより他にないから、m個未満のm角数の和では表されない自然数がある。N=9n+8は二個の三角数の和で表されない(法9の計算で自明)から、三個未満の三角数の和で表されない自然数は無数にある。N=8n+7は三個の四角数の和で表されない(法8の計算で自明)から、四個未満の四角数の和で表されない自然数は無数にある。しかし、五角数以上について、m個未満のm角数で表されない自然数は有限個である。 $m\ge6$ のとき、十分に大きな自然数 $N\ge108(m-2)$ はm-1個のm角数の和で表される。また、 $m\ge5$ が奇数のとき、十分に大きな自然数 $N\ge\tfrac{4(m-2)^3}{14-4\sqrt{3}}$ は四個のm角数の和で表される。また、 $m\ge6$ が偶数のとき、十分に大きな奇数の自然数 $N\ge\tfrac{(m-2)^3}{14-4\sqrt{3}}$ は四個のm角数の和で表される。

[編集] 証明

[編集] 三角数

三平方和定理により

8 N + 3 = (2 x + 1) 2 + (2 y + 1) 2 + (2 z + 1) 2

と表されるから

$N=\frac{x(x+1)}{2}+\frac{y(y+1)}{2}+\frac{z(z+1)}{2}$

となる $x, y, z$ が存在する。従って、全ての自然数は高々三個の三角数の和に表される。

[編集] 四角数

四角数の場合については、ラグランジュの四平方定理と等価である。

[編集] 五角数以上

★編註★N<108(m-2)の場合については恐らく機械的に計算して羅列する証明しか知れれていない。識者の見解を求む。

$m\ge5,N\ge108(m-2)$ とすれば

$\sqrt{\frac{8N}{m-2}-8}-\sqrt{\frac{6N}{m-2}-3}>3.86>\frac{23}{6}$

であるから

$0<\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{6N}{m-2}-3}<2d\pm1<\frac{2}{3}+\sqrt{\frac{8N}{m-2}-8}$

となる二個の奇数 $2d\pm1$ が存在する。 $N\equiv{b+r}\;(\mbox{mod}\;{m-2})$ となるように $b\in\{2d\pm1\},r\in\{e\in\mathbb{Z}|0\le{e}\le{m-4}\}$ を選び、

$a=2\left(\frac{N-b-r}{m-2}\right)+b$

とする。 $a, b$ は共に奇数であるから、 $4a-b^2\equiv4-1\equiv3\;(\mbox{mod}\;{8})$ であり、三平方和定理により、

4 a - b 2 = x 2 + y 2 + z' 2

となる三個の奇数 ${x}\ge{y}\ge{z'}\ge0$ が存在する。 $b+x+y-z\equiv0\;(\mbox{mod}\;{4})$ となるように $z=\pm{z'}$ の符号を決め、

$w_1=\frac{b+x+y-z}{4}$

$w_2=w_1-\frac{y-z}{2}=\frac{b+x-y+z}{4}$

$w_3=w_1-\frac{x-z}{2}=\frac{b-x+y+z}{4}$

$w_4=w_1-\frac{x+y}{2}=\frac{b-x-y-z}{4}$

とすれば

w 1 + w 2 + w 3 + w 4 = b

$w_1^2+w_2^2+w_3^2+w_4^2=\frac{b^2+x^2+y^2+z^2}{4}=a$

$\begin{align}N &=\frac{(m-2)a-(m-4)b}{2}+r\\ &=\frac{(m-2)(w_1^2+w_2^2+w_3^2+w_4^2)-(m-4)(w_1+w_2+w_3+w_4)}{2}+r\\ &=P_m(w_1)+P_m(w_2)+P_m(w_3)+P_m(w_4)+rP_m(1) \end{align}$

となる。但し

$P_m(k)=\frac{(m-2)k^2-(m-4)k}{2}$

とする。 $0\le{r}\le{m-4}$ であるから、 $w_n\ge0$ であれば $N\ge108(m-2)$ が高々 $m$ 個の $m$ 角数で表されることになる。以下において $w_n\ge0$ であることを証明する。

$b<\frac{2}{3}+\sqrt{\frac{8N}{m-2}-8}<2\left(\frac{m-4}{m-2}\right)+\sqrt{\frac{8N-8r}{m-2}}=b'\qquad(\Leftarrow{m\ge5,r\le{m-4}})$

であるから

$\begin{align}b^2-4a&=b^2-4\left(2\left(\frac{N-b-r}{m-2}\right)+b\right)\\ &=\left(b-2\left(\frac{m-4}{m-2}\right)\right)^2-4\left(\frac{m-4}{m-2}\right)^2-8\left(\frac{N-r}{m-2}\right)\\ &<\left(b-2\left(\frac{m-4}{m-2}\right)\right)^2-8\left(\frac{N-r}{m-2}\right)\\ &<\left(b'-2\left(\frac{m-4}{m-2}\right)\right)^2-8\left(\frac{N-r}{m-2}\right)=0\\ \end{align}$

である。同時に

$b>\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{6N}{m-2}-3}>\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{m-2}\right)+\sqrt{\frac{6N-6r}{m-2}-3}=b''\qquad(\Leftarrow{m\ge5})$

であるから

$\begin{align}b^2+2b+4-3a&=b^2+2b+4-3\left(2\left(\frac{N-b-r}{m-2}\right)+b\right)\\ &=\left(b-\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{m-2}\right)\right)^2-\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{m-2}\right)^2-6\left(\frac{N-r}{m-2}\right)+4\\ &>\left(b-\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{m-2}\right)\right)^2-6\left(\frac{N-r}{m-2}\right)+3\\ &>\left(b''-\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{m-2}\right)\right)^2-6\left(\frac{N-r}{m-2}\right)+3=0\\ \end{align}$

である。 $4 a - b 2 = x 2 + y 2 + z 2$ を固定して $x + y + z$ が最大となるのは $x = y = z$ のときであるから

$x+y+z\le\sqrt{3(4a-b^2)}<\sqrt{4(b^2+2b+4)-3b^2}=b+4$

b - x - y - z > - 4

$w 4$ は整数であるから

$w_4=\frac{b-x-y-z}{4}\ge0$

${x}\ge{y}\ge{|z|}$ により

${w_1}\ge{w_2}\ge{w_3}\ge{w_4}\ge{0}$

である。

[編集] 平方数と三角数の和

三平方和定理により、 $8 N + 1$ は高々三個の平方数の和で表されるが、法8で考え、一個の奇数の平方数と二個の偶数の平方数の和であるから

8 N + 1 = (2 x + 1) 2 + (2 y) 2 + (2 z) 2

$N=\frac{x(x+1)}{2}+\left(\frac{y+z}{2}\right)^2+\left(\frac{y-z}{2}\right)^2$

となる $x, y, z$ が存在する。法8で考え、 $y, z$ は共に偶数か共に奇数である。従って、全ての自然数は高々一個の三角数と二個の平方数の和で表される。同じく三平方和定理により、 $4 N + 1$ は高々三個の平方数の和で表されるが、法8で考え、一個の奇数の平方数と二個の偶数の平方数の和であるから

4 N + 1 = (2 x + 1) 2 + (2 y) 2 + (2 z) 2

$N=\frac{(2x+1)^2+(2y)^2+(2z)^2-1}{4}=\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}+\frac{(x-y)(x-y+1)}{2}+z^2$

となる $x, y, z$ が存在する。従って、全ての自然数は高々二個の三角数と一個の平方数の和で表される。

[編集] 関連記事

カテゴリ: 数論 | 定理 | 数学に関する記事

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目次

[編集] 多角数

[編集] 精密化

[編集] 証明

[編集] 三角数

[編集] 四角数

[編集] 五角数以上

[編集] 平方数と三角数の和

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