双心四角形
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双心四角形（そうしんしかっけい、Bicentric Quadrilateral）とは外接円と内接円の両方をもつ四角形のことである。
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[編集] 面積の公式
4辺が a, b, c, d である双心四角形 ABCD の面積は次の公式で表される。
より一般に、内接円を持つ四角形 ABCD の面積は、∠A,∠Cに対してt = (A + C)/2 とおくと次で与えられる。
双心四角形に対する公式は、t = π/2 という特殊な場合である。
[編集] 証明
双心四角形 ABCD において、外接円を持つことからブラーマグプタの公式が使えて、次の式が成り立つ。
- ただし
内接円を持つ四角形の対辺の和は等しいので
- a + c = b + d = s
したがって
- s - a = c
- s - c = a
- s - b = d
- s - d = b
ゆえに
(証終)
外接円を持つとは限らない一般の場合の公式は、一般化されたブラーマグプタの公式を用いて同様に示せる。
[編集] 外接円と内接円の関係
外接円の半径を R、内接円の半径を r、外接円の中心と内接円の中心の距離を d としたとき、
が成り立つ。
[編集] 関連項目
[編集] 外部リンク
Eric W. Weisstein. Bicentric Quadrilateral, MathWorld.（英語）
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