倍積完全数

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倍積完全数（ばいせきかんぜんすう、英:multiply perfect number または multiperfect number）は自然数であって、その約数の和が元の数の整数倍になっているような数である。約数関数 σ を用いて定義すると σ(n) = kn （k : 自然数）を満たす自然数 n が倍積完全数であり、これを k倍完全数ともいう。k = 2 の場合である2倍完全数は単に完全数とよぶ。なお、k = 1 の場合は σ(n) = n を満たす n が 1 のみであるため、1倍完全数は 1 のみである。例えば 120 の約数の和は

σ(120) = 1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120 = 360

であり、120 の3倍となるので、120 は3倍完全数である。

p が n を割り切らない素数とすると、n が p倍完全数であることと、pn が (p + 1)倍完全数であることは同値である。例えば、3倍完全数 m が 2 で割り切れるが 4 で割り切れない場合（すなわち m が単偶数である場合）、m/2 は奇数の完全数となるが、そのような数はいまだに見つかっていない。

[編集] k倍完全数表

以下にそれぞれの k倍完全数 (k ≤ 7) のうち最小の数をあげる。

k	最小の k倍完全数	発見者、年
1	1	-
2	6	-
3	120	-
4	30240	デカルト、1638年
5	14182439040	デカルト、1638年
6	154345556085770649600	カーマイケル (en:Robert Daniel Carmichael)、1907年
7	141310897947438348259849402738485523264343544818565120000	TE Mason、1911年

2007年12月現在、11倍完全数までの倍積完全数が見つかっている。

[編集] 性質

k = 2 のとき、つまり通常の完全数の場合については同項目を参照。

k倍完全数が無数にあるかどうかは分かっていないが、3倍完全数は6個、4倍完全数は36個、5倍完全数は65個、6倍完全数は245個がそれぞれ発見されており、それ以上は存在しないと言われている。
k ≥ 2 とし、N を r 個の相異なる素因数を持つ k 倍完全数とする。このとき N は、k と r に依存するある定数 C 未満の自然数と、1 または偶数の完全数との積になる（Kanold, 1956）。この定数 C は実際に計算可能である（Pomerance, 1977）。

[編集] 参考文献

H. -J. Kanold, Über einen Satz von L. E. Dickson, II, Math. Ann. 132 (1956), 246--255.
C. Pomerance, Multiple Perfect Numbers, Mersenne Primes, and Effective Computability, Math. Ann. 226 (1977), 195--206.