ネイピア数の無理性の証明

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ネイピア数の無理性の証明（ねいぴあすうのむりせいのしょうめい）は、1744年にオイラーが初めて行った。実際、ネイピア数 e は 2 < e < 3 を満たす無理数である。証明は背理法による。すなわち、e が有理数であると仮定して矛盾を導く。e が無理数であることの証明は、円周率 π が無理数であることの証明よりずっと易しい。π の無理性が初めて示されたのは1761年のことである。

e を底とする指数関数 e^x は以下のようにテイラー展開される。

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$

x = 1 を代入すると

$e= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+ \cdots$

以下、これを e の定義として無理数であることを証明する。

[編集] 証明

$e = \frac{a}{b}$ を満たす自然数 a, b が存在すると仮定すると b!・e は以下のように展開される。

$b! \cdot e = \left(b! + \frac{b!}{1!} + \frac{b!}{2!} + \frac{b!}{3!} + \cdots + \frac{b!}{b!}\right)+ \left\{ \frac{b!}{(b+1)!} + \frac{b!}{(b+2)!} + \frac{b!}{(b+3)!} + \cdots \right\}$

左辺は $b! \cdot e = b! \cdot \frac{a}{b} = a(b-1)!$ であるから自然数である。右辺は (　) 内の $b!$ から $\frac{b!}{b!}$ までの項は全て自然数であるが、{　} 内の $\frac{b!}{(b+1)!}$ 以降の全ての項の和は

$\begin{align} \left\{ \frac{b!}{(b+1)!} + \frac{b!}{(b+2)!} + \frac{b!}{(b+3)!} + \cdots \right\} & = \frac{1}{(b+1)} + \frac{1}{(b+1)(b+2)} + \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + \cdots \\ & < \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots \\ & = 1 \end{align}$

と 1 未満になる。したがって右辺は自然数でないことになり、左辺が自然数という結果と矛盾する。

ゆえに $e = \frac{a}{b}$ を満たす自然数 a, b が存在するという仮定は誤りである。

[編集] ネイピア数の冪乗の無理性

一般に、q を 0 でない有理数とすると、e^q は無理数である。これは、リンデマンの定理のごく特別な場合であるが、それ自体の証明は比較的易しく、『天書の証明』で1ページ程度にまとめられている^[1]。

[編集] 脚注

^ M. Aigner and G. M. Ziegler, "Proofs from the Book", 3rd edition, Springer, 2003. ISBN 3540404600（日本語訳、蟹江幸博『天書の証明』シュプリンガー・フェアラーク東京、2002年 ISBN 443170986X）

[編集] 関連項目

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[編集] 証明

[編集] ネイピア数の冪乗の無理性

[編集] 脚注

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