Velocità del suono

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La velocità del suono è la velocità con cui un suono si propaga in una certa sostanza, detta mezzo. La velocità del suono varia a seconda del mezzo (ad esempio, il suono si propaga più velocemente nell'acqua che non nell'aria), e varia anche al variare delle proprietà del mezzo, specialmente con la sua temperatura.

Il suono si propaga in modi diversi a seconda che sia in un solido, in cui tutti gli atomi sono collegati solidalmente fra loro, oppure in un fluido (liquido o gas), che invece è incoerente. Nei fluidi, la velocità del suono segna il confine tra due regimi di moto completamente diversi, per l'appunto detti regime subsonico e regime supersonico.

Questa grandezza è molto importante, perché è anche la velocità con cui si propagano l'energia cinetica e le sollecitazioni meccaniche in una determinata sostanza.

[modifica] Velocità del suono nei solidi

In un solido si possono propagare due tipi di onde diverse: le onde longitudinali, che sono onde di pressione e depressione del materiale, e le onde trasversali, che invece sono onde di taglio: vale a dire che il materiale non subisce compressione, ma taglio, cioè viene portato a muoversi in senso normale alla direzione di propagazione dell'onda. Perciò, il suono si propaga nei solidi con due velocità diverse.

Per un'onda longitudinale, la velocità è data da

$a_l = \sqrt{\frac{E}{\rho}}$

dove E rappresenta il modulo di Young del materiale considerato e $ρ$ la sua densità.

Per le onde trasversali la formula è analoga

$a_t = \sqrt{\frac{G}{\rho}}$

dove il modulo di Young viene sostituito da G, il modulo di rigidità (o modulo di scorrimento).

Il modulo di Young è sempre superiore a quello di rigidità, quindi le onde longitudinali sono sempre le più veloci; se il mezzo è limitato come nel caso di una sbarra o altro oggetto di piccole dimensioni sono anche le uniche ad essere eccitate. Perciò quando si parla di velocità del suono nel mezzo ci si riferisce correntemente a $a l$ , trascurando la propagazione trasversale.

In mezzi materiali molto estesi invece i due modi di propagazione coesistono e devono essere considerati entrambi: per esempio nei terremoti il moto del terreno è la risultante sia delle onde P (longitudinali) che delle onde S (trasversali).

[modifica] Velocità del suono nei fluidi

In un fluido gli atomi o le molecole sono liberi di scorrere, e quindi le onde trasversali non possono manifestarsi; il suono si propaga solo per mezzo di onde di pressione longitudinali. Ad esempio, un diapason messo in vibrazione genera una successione di perturbazioni infinitesime (cioè molto piccole rispetto alle altre grandezze in esame) di compressione ed espansione. Tale successione è percepita dall'orecchio umano come un suono e la velocità con cui questa si propaga viene detta velocità del suono. La velocità del suono dipende sia dalla densità del fluido sia dal suo modulo di comprimibilità, che è l'analogo del modulo di Young per i solidi; quindi possiamo riscrivere l'equazione per le onde longitudinali nei solidi:

$a = \sqrt{\frac{E_a}{\rho}}$

che è la velocità del suono per un fluido generico. Il modulo di comprimibilità di un gas è dato, per una trasformazione isoentropica, da

$E_a = p \, \gamma$

dove γ è il rapporto tra i calori specifici (c_p/c_v) del gas e p la pressione media. Poiché generalmente le compressioni e le espansioni causate dal suono nel gas sono generalmente troppo deboli perché vi apporto apprezzabile di entropia, si può considerare il processo isentropico (ipotesi storicamente avanzata da Pierre Simon Laplace). Questo ci permette di scrivere:

$a = \sqrt{\frac{\gamma \, R \, T}{M}}$

dove R è la costante universale dei gas, T è la temperatura assoluta del gas e M la sua massa molare.

Possiamo ricavare l'espressione anche applicando il principio di conservazione della massa ed il principio di conservazione della quantità di moto. Si suppone infatti che un gas sia attraversato da un onda sonora. Visto dal punto di vista del gas il fenomeno non è stazionario, nel senso che al passare del tempo le grandezze avranno valori differenti. Dal punto di vista dell'onda sonora invece il fenomeno è stazionario, prima di essa la velocità avrà sempre il valore $\vec a$ (dove con a si indica la velocità del suono appunto), la pressione il valore $p$ e la densità il valore $ρ$ . Dopo di essa la velocità sarà diminuita rispetto ad essa se l'onda sonora è di compressione (altrimenti aumentata se l'onda è di espansione) al valore $\vec a - \Delta\vec v$ , la pressione e la densità aumentate (altrimenti diminuite) al valore $p + d p$ e $ρ + d ρ$ .

Si impone ora il principio di conservazione della massa, ovvero si impone che il flusso di massa $\dot m$ (la derivata della massa nel tempo, rappresenta la quantità di massa attraversata per unità di tempo) che attraversa l'onda sia ugale a quello che l'onda si lascia alle spalle:

$\dot m = \rho \, a = \left( \rho + d\rho \right) \left( a - d\vec v \, \right)$

che, una volta trascurati gli infinitesimi di ordine superiore (ovvero i prodotti di due infinitesimi, che restituiscono un valore talmente piccolo che può essere trascurato), diventa:

$\vec a \, d\rho = \rho \, d\vec v$ .

Si applica poi la legge di conservazione della quantità di moto che afferma che la variazione nel tempo della quantità di moto del fluido è uguale alla risultante delle forze di massa e di superficie. In questo caso le forze di superficie, per unità di superficie, sono le pressioni, mentre le forze di massa sono trascurabili. Quindi:

$p - (p + dp) = \dot m \left( \left( \vec a - d\vec v \, \right) - \vec a \, \right)$

risolvendo:

$dp = \rho \, \vec a \, d\vec v$ .

Infine, eliminando $d\vec v$ tra le due equazioni:

$a^2 = \left(\frac{dp}{d \rho}\right)_{s=costante}$ .

Dove con il pedice s = costante si è messo in evidenza il fatto che il proscesso avviene ad entropia costante (processo isoentropico).

Ricordando che

$ds = c_v \left( \frac{dp}{p} - \gamma \frac{d\rho}{\rho} \right)$

dove γ è il rapporto tra calore specifico a pressione costante e calore specifico a volume costante. Per l'enropia costante:

$ds = 0 \Leftrightarrow \frac{dp}{p} = \gamma \frac{d\rho}{\rho}$

e ricordando la legge dei gas perfetti:

$p = \rho \bar{R} T \, \!$

dove con R si è indicata la costante universale dei gas per unità di massa (per l'aria è 287 J/(kg·K)) e con T la temperatura assoluta:

$a^2 = \gamma \frac{p}{\rho} = \gamma \bar{R} T$

e quindi si può ricavare finalmente la velocità del suono:

$a = \sqrt { \gamma \bar{R} T }$

Nell'aria, la velocità del suono è di 331,5 m/s a 0 °C e di 343 m/s a 20 °C (e in generale varia secondo la relazione a = 331,4 + 0,6 t [misurata in °C]). La tabella seguente fornisce un quadro della variazione della velocità del suono nell'aria al variare della temperatura.

Influenza della temperatura
$T$ in °C	a in m/s	ρ in kg/m³	Z in N·s/m³
−10	325,4	1.341	436,5
−5	328,5	1.316	432,4
0	331,5	1.293	428,3
+5	334,5	1.269	424,5
+10	337,5	1.247	420,7
+15	340,5	1.225	417,0
+20	343,4	1.204	413,5
+25	346,3	1.184	410,0
+30	349,2	1.164	406,6