Teoria dell'area in geometria iperbolica

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È possibile creare un parallelo tra l'area di una poligonale definita nel piano euclideo e l'area di una poligonale definita nel piano iperbolico.

Nella geometria Euclidea è definita una Funzione area che soddisfa a proprietà tali da ritenerla una corretta misura di una superficie.

Inoltre nel piano euclideo le poligonali godono della proprietà di equi scomponibilità.

In particolare valgono i seguenti teoremi:

• Se due regioni triangolari hanno la stessa area allora sono equi scomponibili;

• Se due regioni poligonali hanno la stessa area, allora sono equi scomponibili.

Osserviamo che nel piano Euclideo non tutte le regioni piane sono equiscomponibile.

Analogamente anche nello Spazio euclideo non tutti i solidi godono della proprietà di equi scomponibilità: infatti prismi di ugual volume sono equi scomponibili, mentre prismi e piramidi di ugual volume non sono equi scomponibili.

In geometria iperbolica è possibile definire una funzione che soddisfi le condizioni della Funzione area. Essa è la funzione difetto angolare.

Tale funzoione soddisfa agli assiomi 1- 4 definiti per la Funzione area (osserviamo che in geometria iperbolica non esistono rettangoli, pertanto l’assioma 4 non può risultare falso) e la proprietà di equi scomponibilità.

In particolare vale il seguente teorema:

Teorema 1: Se A è una funzione definita dall’insieme P di tutte le regioni poligonali nell’insieme dei numeri reali (A:P→R) che gode delle i proprietà A1 ed A3 della funzione area, e della proprietà di equi scomponibilità, allora esiste un numero h tale che per ogni regione poligonale P vale

A(P)=h * d(P),

dove d(P) è il difetto angolare della regione P.

Il teorema assicura che il difetto angolare è l’unica possibile Funzione area che, a meno di una costante arbitraria, salvaguarda le proprietà peculiari della misura delle superfici nel piano iperbolico.

Valgono i seguenti teoremi relativi all’equi scomponibilità, analoghi al caso euclideo:

Teorema 2: Se due regioni triangolari hanno lo stesso difetto angolare (e quindi la stessa area) allora sono equi scomponibili;

Teorema 3: Se due regioni poligonali hanno lo stesso difetto angolare (e quindi la stessa area), allora sono equi scomponibili.

Il teorema precedente dimostra che in geometria iperbolica l’area di un triangolo e l’area di un poligono si mantengono al di sotto di un valore costante, in particolare: A(triangolo) < hπ A(poligono) < n hπ (dove n è il numero di lati del poligono)

Osserviamo che nel Piano iperbolico la funzione Area è definita a meno di una costante arbitraria h , pertanto è possibile sfruttare l’arbitrarietà di h per scegliere la funzione difetto angolare in modo che si abbia l’identità numerica tra l’area definita nel piano iperbolico e nel piano euclideo.