Teorema di Morera
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Il Teorema di Morera è un teorema dell'analisi complessa, sviluppato dal matematico italiano Giacinto Morera, conseguenza diretta della formula integrale di Cauchy e della sue derivate.
[modifica] Enunciato
Se 
è una funzione continua in un dominio 
semplicemente connesso e se 
per ogni curva chiusa γ tutta contenuta in allora la funzione è analitica in .
[modifica] Dimostrazione
Basta dimostrare che se l'integrale di f(z) è nullo su qualsiasi curva 
allora f(z) ammette una primitiva, ovvero che esiste una funzione F(z) tale che
.
Infatti se tale F(z) esiste essa è analitica (dato che è derivabile e quindi valgono le condizioni di Cauchy-Riemann) e per il Teorema di rappresentazione integrale essa ammette infinite derivate analitiche, pertanto f(z) è analitica. Dimostriamo quindi l'esistenza della primitiva: fissiamo all'interno della curva γ un triangolo ABC con 
.
Per ipotesi possiamo quindi scrivere
da cui, utilizzando il Teorema della media, si ottiene
dove c è un punto del segmento [z,z + h]. Passando al limite per 
(e quindi 
) si ottiene
![\frac{d}{{dz}}\left[ {\int_{z_0 }^z {f\left( w \right)dw} } \right] = f\left( z \right)](../../../../math/f/f/1/ff153ec1ff2cb501bb0a737f7ecf1ab0.png)
pertanto la funzione
è una primitiva di f(z).
[modifica] Voci correlate
Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che parlano di matematica
