Derivazione complessa

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Indice

1 Derivazione
2 Differenziabilità
- 2.1 Formule di differenziazione
3 Condizioni di Cauchy-Riemann
4 Voci correlate

[modifica] Derivazione

Sia la funzione $f (z)$ definita in un dominio aperto che contiene un intorno del punto $z 0$ . Chiamiamo derivata di f nel punto $z 0$ il limite se esiste finito del rapporto incrementale:

$f'(z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac {f(z) - f(z_0)} {z - z_0}$

Chiamando $Δω = f (z + Δ z) - f (z)$ , incremento della funzione f corrispondente all'incremento della variabile indipendente $Δ z$ :

$f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac {\Delta \omega} {\Delta z} = \frac {d\omega} {dz}$

Vale il teorema che l'esistenza della derivata di una funzione in un punto implica la continuità della funzione in quel punto; ma non è vero il contrario.

[modifica] Differenziabilità

Una funzione f(z) è differenziabile in $z 0$ se f è derivabile e:

$\lim_{\Delta z \to 0} \frac {f(z_0 + \Delta z) - f(z_0) - f'(z_0) \Delta z} {\Delta z} = 0$

[modifica] Formule di differenziazione

La definizione di funzione analitica ci assicura che valgono tutte le regole di derivazione già viste per le funzioni reali:

$\frac {dc} {dz} = 0$
$\frac {dz} {dz} = 1$
$\frac {d \left (c \cdot f(z) \right)} {dz} = c \cdot f'(z)$
$\frac {dz^n} {dz} = n \cdot z^{n-1}$
$\frac {d\left (f(z) + F(z) \right)} {dz} = f'(z) + F'(z)$
$\frac {d\left (f(z) \cdot F(z) \right)} {dz} = f(z) \cdot F'(z) + f'(z) \cdot F(z)$
$\frac {d} {dz} \cdot \left (\frac {f(z)} {F(z)} \right) = \frac {f'(z) \cdot F(z) - f(z) \cdot F'(z)} {(F(z))^2}$
Se $F(z) = g \left (f(z) \right)$ , allora: $F'(z_0) = g'\left (f(z_0) \right) \cdot f'(z_0)$

[modifica] Condizioni di Cauchy-Riemann

Teorema (Condizione necessaria)

Supposto che esista la derivata di una funzione nel punto $z 0 = x 0 + i y 0$ allora le derivate parziali del primo ordine di $f(z_0) = u(x_0,y_0) + i \cdot v(x_0,y_0)$ esistono sono differenziabili e verificano le equazioni di Cauchy - Riemann.

Dimostrazione

Dobbiamo dimostrare che esistono le derivate parziali della funzione, che la parte reale ed immaginaria convergono rispettivamente alla parte reale ed immaginaria del limite e che soddisfano le equazioni di Cauchy - Riemann. Per fare questo sviluppiamo la definizione di derivata di una funzione complessa nella sua parte reale ed immaginaria nell'intorno del punto

z 0 = (x 0 + i y 0)

, da cui otterremo le due relazioni fondamentali note come equazioni di Cauchy - Riemann:

$f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac {f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)} {\Delta z}$

dove il rapporto si può scrivere:

$\frac {f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)} {\Delta z} = \frac {u(x_0 + \Delta x,y_0 + \Delta y) - u(x_0,y_0)} {\Delta x + i\Delta y} + i \cdot \frac { \left[v(x_0 + \Delta x,y_0 + \Delta y) - v(x_0,y_0) \right]} {\Delta x + i\Delta y}$

Se facciamo tendere a zero la parte reale ed immaginaria solo orizzontalmente come $(\Delta x,0) \to (0,0)$ , otteniamo:

$f'(z_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {u(x_0 + \Delta x,y_0) - u(x_0,y_0)} {\Delta x} + i \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac {v(x_0 + \Delta x,y_0) - v(x_0,y_0)} {\Delta x} =$

$= \frac {\partial u(x_0,y_0)} {\partial x} + i \cdot \frac {\partial v(x_0,y_0)} {\partial x} = u_x(x_0,y_0) + i \cdot v_x(x_0,y_0)$

Se tendiamo a zero la parte reale ed immaginaria solo verticalmente come $(0,\Delta y) \to (0,0)$ , otteniamo:

$f'(z_0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac {u(x_0,y_0 + \Delta y) - u(x_0,y_0)} {i \Delta y} + i \cdot \lim_{\Delta y \to 0} \frac {v(x_0,y_0 + \Delta y) - v(x_0,y_0)} {i \Delta y}=$

$= - i \cdot \frac {\partial u(x_0,y_0)} {\partial y} + \frac {\partial v(x_0,y_0)} {\partial y} = - i \cdot u_y(x_0,y_0) + v_y(x_0,y_0)$

In questo modo si vede chiaramente che uguagliando parti reali e parti immaginarie dalle equazioni precedenti otteniamo le equazioni di Cauchy - Riemann:

$\begin{cases}u_x(x_0,y_0) = v_y(x_0,y_0) \\ u_y(x_0,y_0) = -v_x(x_0,y_0)\end{cases}$

Ora non ci resta che dimostrare che u e v sono differenziabili. Dalla definizione di differenziabilità della funzione sappiamo che:

$\lim_{\Delta z \to 0} \frac {f(z_0 + \Delta z) - f(z_0) - f'(z_0) \Delta z} {\Delta z} = 0$

Questo limite afferma che per $|\Delta z| = \sqrt {(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \to 0$ la differenza a numeratore tende a zero. Sviluppando in parte reale ed immaginaria questo equivale:

$\lim_{\Delta z \to 0} \frac {|\Delta u + i \Delta v|} {|\Delta z|} =$

$= \lim_{(\Delta x, \Delta y) \to (0,0)} \frac {u(x_0 + \Delta x,y_0 + \Delta y) - u(x_0,y_0) - u_x(x_0,y_0) \Delta x - u_y(x_0,y_0) \Delta y} {\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}} +$

$+ i \cdot \frac {v(x_0 + \Delta x,y_0 + \Delta y) - v(x_0,y_0) - v_x(x_0,y_0) \Delta x - v_y(x_0,y_0) \Delta y} {\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}} = 0$

Questo limite esiste se e solo se sia la parte reale che immaginaria tendono allo stesso limite, cioè è zero se e solo se:

$\lim_{\Delta z \to 0} \frac {|\Delta u|} {|\Delta z|} =0 \, ; \, \lim_{\Delta z \to 0} \frac {|\Delta v|} {|\Delta z|} =0$

dalle quali si vede che u e v sono differenziabili in

z 0

Teorema (Condizione sufficiente)

Consideriamo la funzione $f (z) = u (x, y) + i v (x, y)$ definita in un intorno del punto $z 0 = x 0 + i y 0$ . Supponiamo esistano le derivate parziali: $u x (x 0, y 0)$ , $u y (x 0, y 0)$ , $v x (x 0, y 0)$ e $v y (x 0, y 0)$ , siano continue e soddisfino le equazioni di Cauchy - Riemann. Allora $f (z 0)$ è derivabile in questo punto.

Dimostrazione

Dobbiamo far vedere che:

$f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac {f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)} {\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac {\Delta \omega} {\Delta z} = \lim_{\Delta z \to 0} \frac {\Delta u + i \cdot \Delta v} {\Delta z}$

Possiamo sviluppare questo limite nella parte reale e immaginaria e sfruttare la continuità delle derivate parziali:

$\begin{cases} \Delta u = u(x_0 + \Delta x,y_0 + \Delta y) - u(x_0,y_0) \\ \Delta v = v(x_0 + \Delta x,y_0 + \Delta y) - v(x_0,y_0) \end{cases}$ $\Longrightarrow$

$\begin{cases} \Delta u = u_x(x_0,y_0) \Delta x + u_y(x_0,y_0) \Delta y + \epsilon_1 \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \\ \Delta v = v_x(x_0,y_0) \Delta x + v_y(x_0,y_0) \Delta y + \epsilon_2 \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} \end{cases}$

dove $\epsilon_1 \, , \, \epsilon_2 \to 0$ per $(\Delta x,\Delta y) \to (0,0)$ .

Poiché per ipotesi valgono le equazioni di Cauchy - Riemann possiamo scrivere il rapporto incrementale come:

$\frac {f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z} = \frac {\Delta \omega} {\Delta z} = \frac {\Delta u + i \cdot \Delta v} {\Delta z} = u_x(x_0,y_0) +iv_x(x_0,y_0) + (\epsilon_1 + \epsilon_2) \frac {\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}} {\Delta z}$ .

Ma $\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} = |\Delta z|$ quindi l'ultima frazione a secondo membro è 1; mentre $(\epsilon_1 + \epsilon_2) \to 0$ per $(\Delta x,\Delta y) \to (0,0)$ . Per cui il limite del rapporto scritto sopra è proprio la derivata. c.v.d.

Le forme con cui si può scrivere la derivata sono le seguenti:

$f'(z)=\begin{cases} u_x(x,y)+iv_x(x,y) \\ v_y(x,y)-iu_y(x,y) \\ u_x(x,y)-iu_y(x,y) \\ v_y(x,y)+iv_x(x,y)\end{cases}$

Ora possiamo dare una definizione di funzioni analitiche o regolari o olomorfe dicendo che sono quelle funzioni complesse definite in un insieme aperto A per le quali esiste la derivata, continua, in ogni punto di questo insieme e le derivate parziali soddisfino le equazioni di Cauchy - Riemann.

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