Teorema di Kakutani
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In matematica, il teorema di Kakutani è un teorema di punto fisso che estende il teorema di Schauder alle funzioni a più valori.
Il teorema venne ricavato da Shizuo Kakutani nel 1941 e venne adoperato da John Nash nella sua famosa descrizione degli equilibri di Nash; in seguito ha trovato una vasta applicazione nella teoria dei giochi e in economia.
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[modifica] Definizioni preliminari
Un'"applicazione a più valori" f da un insieme X a un insieme Y è una legge che associa uno o più elementi di Y ad ogni punto di X. Formalmente si può rappresentare come una funzione da X all'insieme delle parti di Y, e scritta come f : X→2Y.
Un'applicazione a più valori f : X→2Y si dice "chiusa" se per ogni successione xn, yn con 
, 
e 
, si ha 
.
Sia f: X→2X una funzione a più valori. Allora a ∈ X è un punto fisso di f se a ∈ f(a).
[modifica] Enunciato
Sia dato uno spazio euclideo X di dimensione finita, e sia K un sottoinsieme di X, compatto, convesso e non vuoto.
Sia 
un'applicazione multivoca con le seguenti proprietà:
- f è chiusa;
- per ogni
, 
è un sottoinsieme convesso non-vuoto di K.
Allora f ammette almeno un punto fisso in K.
Nella sua prima formulazione, il teorema di Kakutani è una generalizzazione del teorema di Brouwer.
[modifica] Enunciato 2 (spazi di Banach)
Sia dato uno spazio di Banach X, e sia K un sottoinsieme compatto di X.
Sia 
un'applicazione multivoca con le seguenti proprietà:
- f è chiusa;
- per ogni , è un sottoinsieme convesso non-vuoto di K.
Allora f ammette almeno un punto fisso in K.
[modifica] Esempio
Sia f(x) una funzione multivoca definita sull'intervallo chiuso [0, 1] che fa corrispondere al punto x l'intervallo chiuso [1 − x/2, 1 − x/4]. Allora f(x) soddisfa tutte le ipotesi del teorema e deve avere almeno un punto fisso.
[modifica] Voci correlate
- Punto fisso
- Teorema di Brouwer
- Teorema di Schauder
- Funzione a più valori
- Teorema di punto fisso di Ryll-Nardzewski
[modifica] Bibliografia
- Kakutani, Shizuo (1941). A Generalization of Brouwer's Fixed Point Theorem. Duke Mathematical Journal 8 (3): 457–459. DOI:10.1215/S0012-7094-41-00838-4.
- Nash, John "Equilibrium points in n-person games" Proceedings of the National Academy of Sciences 36 (1) (1950) : 48-49.
- Kim C. Border. Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory. Cambridge University Press, 1989.
[modifica] Collegamenti esterni
- Appunti: "Nash, Berge, Kakutani". Teorema di Kakutani e sua applicazione all'esistenza dell'equilibrio di Nash (file pdf, 17 pag.).
- (EN) Fixed Point Theorems. Pagina sui teoremi di punto fisso dal sito History of Economic Thought.
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