Teorema di Borsuk

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Il teorema di Borsuk è un teorema di matematica, e più precisamente di topologia algebrica. Ha come conseguenza importante il teorema di Borsuk-Ulam.

Indice

1 Enunciato
2 Dimostrazione
3 Applicazioni
4 Voci correlate
5 Collegamenti esterni

[modifica] Enunciato

Il teorema di Borsuk asserisce il fatto seguente.

Non esistono applicazioni continue $f:S^2 \to S^2$ dalla sfera in sé tali che $f ( - x) = - f (x)$ per ogni punto $x$ della sfera.

[modifica] Dimostrazione

Sia $f : S^2 \to S^1$ un'applicazione continua, vogliamo dimostrare che esiste x₀ ∈ S² tale che $f ( - x 0)$ diverso da - $f (x 0)$ .

Consideriamo il rivestimento universale $e: \R \to S^1$ ; per un corollario relativo al teorema del sollevamento dell'omotopia esiste un'applicazione continua $g : S^2 \to \R$ che solleva $\,f\;$ , ossia tale che $e|g=f\,$ .

Per un lemma della teoria topologica esiste un punto x₀ appartenete a S² tale che $\,g(x_0)=\,g(-x_0)\;$ e di conseguenza: $\,f(x_0)=f(-x_0)\;$ ; in particolare $\,f(-x_0)\ne f(x_0)\;$ , c.v.d.

[modifica] Applicazioni

Per approfondire, vedi la voce Teorema di Borsuk-Ulam.

Il Teorema di Borsuk-Ulam è una applicazione importante del teorema. Asserisce che per ogni applicazione continua $\,g\;$ : S² → R² esiste un punto $\,x\;$ appartenete a S² tale che $\,g(x)\;$ = $\,g(-x)\;$ .