Teorema delle radici razionali

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In algebra, il teorema delle radici razionali afferma che ogni soluzione razionale di una equazione polinomiale a coefficienti interi:

$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0=0,\quad a_i\in\mathbb Z$

è della forma $p / q$ , dove:

$p$ è un divisore del termine noto $a 0$
$q$ è un divisore del coefficiente direttore $a n$ .

Il teorema non dà alcuna informazione su eventuali radici irrazionali o complesse.

Ad esempio, se abbiamo un'equazione della forma

3 x 3 - 10 x 2 + x - 4 = 0

allora le eventuali radici razionali sono contenute in quest'insieme:

$\{\pm {4\over3}, \pm {2\over3}, \pm{1\over3}, \pm 4, \pm 2, \pm1 \}$ .

Se il polinomio è monico, cioè è $a n = 1$ , evidentemente la formula si semplifica restringendo le opzioni tra i soli divisori del termine noto. Il test su ogni singola possibile radice si può ad esempio attuare con la regola di Ruffini; se nessun valore soddisfa le richieste, allora tutte le sue radici (che esistono per il teorema fondamentale dell'algebra) sono irrazionali o complesse. Al contrario, se sono state trovate $n$ radici razionali, allora il polinomio è completamente fattorizzabile in polinomi lineari con coefficienti interi.

[modifica] Dimostrazione

Il teorema delle radici razionali è una diretta conseguenza del Lemma di Gauss, il quale afferma che se un polinomio (a coefficienti interi) è fattorizzabile sui razionali, allora lo è anche sugli interi.

Quindi se esiste una radice razionale $p / q$ , questo significa che potremo scrivere il nostro polinomio iniziale come $(qx-p)\cdot(b_{n-1}x^{n-1}+\ldots+b_0)$ con tutti i $b i$ interi. Facendo il prodotto (i coefficienti intermedi non ci interessano) e sfruttando il fatto che due polinomi sono uguali se e solo se coincidono tutti i coefficienti, avremo $a_n=b_{n-1}\cdot q$ e $a_0=b_0\cdot p$ , da cui il teorema.