Teorema della probabilità totale

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Il teorema della probabilità totale dice che la probabilità che si verifichi almeno uno di due eventi qualsiasi A e B, la probabilità dell'unione di A e B, è pari alla somma delle singole probabilità P(A) e P(B) diminuita della probabilità della loro intersezione

Quando i due eventi sono disgiunti, cioè quando l'intersezione è l'insieme vuoto , la probabilità dell'unione è pari alla somma delle singole probabilità (in quanto per assioma, la probabilità dell'insieme vuoto è nulla, ). In questo caso i due eventi A e B si dicono incompatibili.

Nel caso di tre eventi A, B e C il teorema afferma che:

Più in generale, data una collezione di eventi , allora:

[modifica] Dimostrazione

Il teorema può essere immediatamente dimostrato applicando, come illustrato in figura, l'assioma della probabilità dell'unione di due insiemi disgiunti a due bipartizioni:

dove il segno tra parentesi è da intendersi nel senso di differenza tra insiemi.

Sottraendo membro a membro le due equazioni si ha:

da cui, immediatamente:

come volevasi dimostrare. Gli asserti più generali possono essere facilmente dimostrati per induzione.

[modifica] Voci correlate

• Probabilità
• Principio di inclusione ed esclusione
• Probabilità condizionata
• Indipendenza stocastica
• Teorema della probabilità composta
• Teorema della probabilità assoluta
• Teorema di Bayes
• Legge delle aspettative iterate
• Legge della varianza totale