Unione (insiemistica)

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Nella teoria degli insiemi, l'unione di due insiemi A e B è data dall'insieme formato da tutti gli elementi che appartengono all'insieme A o all'insieme B o a entrambi.

L'unione è una operazione binaria. Nell'algebra booleana corrisponde all'operatore OR.

[modifica] Definizione

L'unione di due insiemi A e B si denota comunemente con " $A \cup B$ ". Quindi x è un elemento di $A \cup B$ se e solo se x è un elemento di almeno uno degli insiemi A e B, in simboli:

$(x \in A \cup B) \Leftrightarrow (x \in A \vee x \in B)$

L'unione di due insiemi è detta disgiunta se essi hanno intersezione vuota.

Più in generale, data una famiglia qualsiasi $\{A_\alpha,\,\alpha\in \mathcal{I}\}$ di insieme, è definita come quell'insieme $\cup_{\alpha \in \mathcal{I}} A_\alpha$ a cui un elemento x appartiene se e solo se x appartiene ad almeno uno degli $A α$ .

[modifica] Esempi

Come esempio elementare si possono considerare due insiemi finiti (cioè con un numero finito di elementi) A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}. In questo caso si ottiene l'unione prendendo tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi:

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$ .

Un esempio un po' più astratto è dato da due insiemi definiti tramite determinate proprietà dei loro elementi: Siano A l'insieme dei numeri interi divisibili per 4 e B l'insieme dei numeri interi divisibili per 6. In questo caso, A ∪ B è l'insieme dei numeri interi divisibili per 4 o per 6 (o entrambi).