Spettro (matematica)

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In matematica, nel campo dell'analisi funzionale, lo spettro di una trasformazione lineare tra spazi vettoriali è la generalizzazione del concetto di autovalori per le matrici. Operatori su spazi infinito dimensionali possono non avere autovalori. Per esempio sullo spazio di Hilbert ℓ² l'operatore di shift unilaterale

$(x_1, x_2, \dots) \mapsto (0, x_1, x_2, \dots)$

non ha autovalori. Si può però dimostrare che ogni operatore lineare limitato su uno spazio di Banach complesso ha uno spettro non vuoto.

Un operatore limitato può essere visto come un elemento di una algebra di Banach, con la definizione di spettro trasferita parola per parola da quel contesto. Il concetto di spettro si estende agli operatori illimitati. Nel caso non limitato, spesso si richiede che gli operatori siano chiusi allo scopo di ottenere proprietà spettrali semplici.

Lo studio dello spettro è legato alla teoria spettrale.

Indice

1 Spettro di operatori limitati
- 1.1 Proprietà di base
2 Classificazione dei punti dello spettro
3 Risultati ulteriori
4 Spettro di operatori illimitati
5 Voci correlate

[modifica] Spettro di operatori limitati

Sia B una algebra di Banach complessa contenente l'unità e. Lo spettro di un elemento x di B, spesso scritto come σ_B(x) o semplicemente σ(x), consiste nei numeri complessi λ per cui (λ e - x) non è invertibile in B.

Se X è uno spazio di Banach complesso, allora l'insieme di tutti gli operatori lineari limitati su X forma una algebra di Banach, chiamata B(X). Lo spettro di un operatore lineare limitato è il suo spettro quando è visto come un elemento di questa algebra di Banach. Più in dettaglio: sia I l'operatore identità su X, tale che I è l'unità per B(X). Allora per T ∈ B(X), lo spettro di T, scritto σ(T), consiste nei λ per cui λ I - T' non è invertibile in B'(X). In particolare, ogni operatore limitato è chiuso. Quindi per il teorema del grafico chiuso se λ I - T è biunivoca allora λ non sta nello spettro di T.

[modifica] Proprietà di base

Lo spettro σ(X) di un elemento X di B è sempre compatto e non vuoto. Se lo spettro fosse vuoto, allora il risolvente

$R(\lambda) = (\lambda I - X)^{-1} \,$

sarebbe definito ovunque sul piano complesso e limitato. Ma si può dimostrare che il risolvente R è olomorfo sul suo dominio. Dalla versione vettoriale del teorema di Liouville, questa funzione è una costante, e quindi ovunque zero poiché è zero all'infinito, che non è invertibile, quindi una contraddizione.

La limitatezza dello spettro segue dall'espansione in serie di Neumann in λ; lo spettro σ(X) è limitato da ||x||. Un risultato simile dimostra la chiusura dello spettro e quindi lo spettro di un operatore limitato è compatto.

Il limite ||X|| dello spettro può essere definito diversamente. Il raggio spettrale, r(X) di X è il raggio del più piccolo intorno nel piano complesso che è centrato nell'origine e contiene lo spettro σ(x), cioè

$r(x) = \sup \{|\lambda| : \lambda \in \sigma(x)\}.$

la formula del raggio spettrale dice che

$r(x) = \lim_{n \to \infty} \|x^n\|^{1/n}.$

[modifica] Classificazione dei punti dello spettro

Per un operatore limitato T, T è invertibile, cioè ha un inverso limitato, se e solo se T è limitato inferiormente e ha immagine densa. Quindi, lo spettro di T può essere diviso nelle seguenti parti:

Se λ∈ σ(T), può essere che λ - T non sia limitato. Poiché T è limitato, per qualche autovalore λ di T λ - T non è limitato. L'insieme degli autovalori è chiamato spettro discreto o spettro puntuale di T. In alternativa, λ - T può essere uno-a-uno ma non è limitato. Questi λ sono detti autovalori approssimati di T.
Può succedere che λ - T non ha immagine densa. In questo caso λ appartiene allo spettro residuo di T.

Si noti che, in linea di principio, la bigettività è sufficiente ma non necessaria per l'invertibilità. La sufficienza è dovuta al teorema del grafico chiuso. Inoltre, definite in questo modo, le parti dello spettro non devono essere necessariamente disgiunte.

[modifica] Spettro discreto o spettro puntuale

Se un operatore non è iniettivo (quindi poiché T è lineare vuol dire che esiste un x non nullo tale che T(x) = 0), allora è chiaramente non invertibile. Quindi se λ è un autovalore di T, necessariamente λ ∈ σ(T). Anche l'insieme degli autovalori di T è chiamato spettro discreto o spettro puntuale di T.

[modifica] Spettro discreto approssimato o spettro continuo

Più generalmente, T non è invertibile se non è limitato; cioè se non esiste c>0 tale che ||Tx|| ≥ c||x|| per ogni x ∈ X. Quindi lo spettro include l'insieme degli autovalori approssimati, che sono i λ tali che T - λ I' non è limitato; equivalentemente, è l'insieme dei λ per i quali esiste una successione di vettori unitari x₁, x₂, ... tale che

$\lim_{n \to \infty} \|Tx_n - \lambda x_n\| = 0$ .

[modifica] Esempio

Si consideri lo shift bilaterale T su ℓ²(Z) definito da

$T(\cdots, a_{-1}, \hat{a}_0, a_1, \cdots) = (\cdots, \hat{a}_{-1}, a_0, a_1, \cdots)$

dove ˆ denota la posizione zero. Un calcolo diretto mostra che T non ha autovalori, ma ogni λ con |λ|=1 è un autovalore approssimato; ponendo 'x_n un vettore

$\frac{1}{\sqrt{n}}(\dots, 0, 1, \lambda, \lambda^2, \dots, \lambda^{n-1}, 0, \dots)$

allora ||x_n|| = 1 per ogni n, ma

$\|Tx_n - \lambda x_n\| = \sqrt{\frac{2}{n}} \to 0$ .

Poiché T è un operatore unitario, il suo spettro appartiene al cerchio unitario. Quindi lo spettro continuo di T è tutto lo spettro. Questo vale per una classe più generale di operatori.

Un operatore unitario è normale. Dal teorema spettrale, un operatore limitato su uno spazio di Hilbert è normale se e solo se è un operatore di moltiplicazione. Si può mostrare che, in generale, lo spettro continuo di un operatore limitato di moltiplicazione è il suo spettro.

[modifica] Spettro residuo

Un operatore può essere limitato ma non invertibile. Lo shift unilaterale su l ²(N) è un esempio. Questo operatore di shift è una isometria, quindi limitato da 1. Ma non è invertibile poiché non è surriettivo. L'insieme dei λ per i quali λ I - T non ha immagine densa si chiama spettro residuo o spettro compresso di T.

[modifica] Risultati ulteriori

Se T è un operatore compatto, allora si può dimostrare che ogni λ non nullo nello spettro è un autovalore. In altre parole, lo spettro di un tale operatore, che era stato definito come generalizzazione del concetto di autovalori, consiste in questo caso dei normali autovalori, possibilmente con l'aggiunta dello 0.

Se X è uno spazio di Hilbert e T è un operatore normale, allora un risultato notevole noto come teorema spettrale dà un analogo del teorema di diagonalizzazione per operatori normali finito-dimensionali (ad esempio matrici Hermitiane)

[modifica] Spettro di operatori illimitati

Si può estendere la definizione di spettro per operatori illimitati su uno spazio di Banach X, operatori che non sono più elementi dell'algebra di Banach B(X). Si procede in maniera simile al caso limitato. Un numero complesso $λ$ si dice essere nell' insieme risolvente, cioè il complementare dello spettro di un operatore lineare

$T: D \subset X \to X$

se l'operatore

$T-\lambda I: D \to X$

ha un inverso limitato, ovvero se esiste un operatore limitato

$S : X \rightarrow D$

tale che

$S (T - \lambda) = I_D, \, (T - \lambda) S = I_X.$

Un numero complesso $λ$ è quindi nello spettro se questa proprietà non vale. Si può classificare lo spettro esattamente allo stesso modo del caso limitato.

Lo spettro di un operatore illimitato è in generale un sottoinsieme chiuso, possibilmente vuoto, del piano complesso.

Immediatamente dalla definizione, si può dedurre che S potrebbe non essere invertibile, nel senso degli operatori limitati. Dato che il dominio D potrebbe essere un sottoinsieme proprio di X, l'espressione

$\, (T - \lambda) S = I_X$

ha senso solo se Im(S) è contenuta in D. In modo simile,

$\, S (T - \lambda) = I_D$

implica D ⊂ Im(S). Perciò, che λ stia nell'insieme risolvente di T significa che

$T-\lambda I: D \to X$

è bigettiva. (Si ricordi che la bigettività di T - λ non può essere dedotta dall'invertibilità se T è limitata.)

Il viceversa è vero se si introduce la condizione addizionale che T è chiuso. Per il teorema del grafico chiuso, se T - λ: D → X è bigettiva, allora la sua applicazione inversa (algebricamente) è necessariamente un operatore limitato. (Si noti che la completezza di X è richiesta nell'invocare il teorema del grafico chiuso.) Perciò, in contrasto col caso limitato, la condizione che un numero complesso λ stia nello spettro di T diventa puramente algebrica: per un operatore chiusto $T$ , $λ$ è nello spettro di $T$ se e solo se $T - λ$ non è bigettiva.

[modifica] Voci correlate

Decomposizione dello spettro
Operatore autoaggiunto

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