ספקטרום (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

ספקטרום של אופרטור A הוא קבוצת הנקודות במישור המרוכב שעבורן האופרטור $\ A - \lambda I$ איננו הפיך באלגברה של האופרטורים החסומים מעל מרחב הילברט נתון. במובן מסוים זוהי הכללה של מושג הערך העצמי של אופרטור. הכללה זו שימושית בייחוד באנליזה פונקציונלית בה מתעסקים באנליזה של מרחבים וקטוריים בעלי אינסוף ממדים ומנסים להכליל את המושג של הלכסון על מנת לעבוד עם אופרטורים נוחים להצגה.

[עריכה] הגדרה פורמלית

יהי $\ T : H \to H$ אופרטור לינארי מעל מרחב הילברט $H$ . נגדיר את אופרטור ה"Resolventa" (הרסולבר) כ:

$\ R_T(\lambda) = T - \lambda I$

ואת ההפכי שלו (כאשר קיים) כ

$\ \Gamma_T(\lambda) = ( R_T (\lambda) )^{-1}$

ניתן להתייחס לרסולבר כאל כפונקציה של $λ$ מ $\mathbb{C}$ (שדה המספרים המרוכבים) אל מרחב האופרטורים מעל H. זו גישה חכמה שכן היא מאפשרת להשתמש בכלים החזקים של האנליזה המרוכבת על מנת להוכיח תוצאות חשובות.

נקודה $\ \lambda \in \mathbb{C}$ תיקרא נקודה רגולרית אם עבורה $\ \Gamma_T(\lambda) = \left( R_T(\lambda) \right) ^{-1} = ( T - \lambda I) ^{-1}$ קיים ומוגדר היטב כאיבר של $\ B(H)$ (קבוצת האופרטורים החסומים על מרחב הילברט). כלומר: אנו דורשים שההפכי של הרסולבר יהיה קיים וכן יהיה אופרטור חסום. את קבוצת כל הנקודות הרגולריות מסמנים $\ \rho(T)$ .

נקודה שאיננה רגולרית תיקרא נקודת ספקטרום. קבוצת נקודות הספטרום של אופרטור מסומנת כ $\ \sigma(T)$ .

[עריכה] תכונות

משפט: הספקטרום $\ \sigma(T) \subset \mathbb{C}$ היא קבוצה לא ריקה, חסומה וסגורה.

[עריכה] הוכחה שהספטרום לא ריק

נניח בשלילה שהספטקרום קבוצה ריקה. אזי לכל $\ \lambda \in \mathbb{C}$ האופרטור $\ \Gamma_T(\lambda) = \left( R_T(\lambda) \right) ^{-1} = ( T - \lambda I) ^{-1}$ קיים וחסום ומוגדר היטב. בפרט, תהי $\ \Phi : B(H) \to \mathbb{C}$ פונקציה מרוכבת אנליטית. אזי נקבל ש

$\ F(\lambda) = \Phi ( \Gamma_T(\lambda) ) : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$

היא פונקציה שאנליטית על כל המישור : זאת כי $\lim_{\mu \to \lambda} \frac{F(\lambda) - F(\mu)}{\lambda - \mu} = -\Phi( \Gamma_T(\lambda) ^2 )$ . כמו כן, היא חסומה מאחר והרסולבר עצמו חסום והיא שואפת לאפס עבור $\lambda \to \infty$ ).

לכן, לפי משפט ליוביל היא קבועה בכל המישור המרוכב ושווה לאפס. זו כמובן סתירה, ולכן הספקטרום איננו ריק.

[עריכה] הוכחה שהספקטרום חסום

כדי להראות שהספקטרום חסום נשתמש בפיתוח ניומן,

$(I - A)^{-1} = \sum_{n = 0}^\infty A^n$ ,

שתקף לכל אופרטור חסום המקיים $\ \| A \| < 1$ . אזי

$\ R_T(\lambda)^{-1} = (T - \lambda I)^{-1} = -\frac{1}{\lambda} (I - \lambda^{-1} T )^{-1} = -\frac{1}{\lambda} \sum_{n=0}^{\infty} { \frac{ T_n }{\lambda^{n}} }$

ופיתוח זה תקף אם $\ \| T \| < | \lambda |$ . כלומר: לכל $\ | \lambda | < \| T \|$ הפיתוח לעיל איננו תקף ולכן ההופכי של הרסולבר איננו קיים, לכל $\ \| T \| < | \lambda |$ הפיתוח כן תקף ולכן ההופכי של הרסולבר כן קיים. כלומר: אם $\ \| T \| < | \lambda |$ אזי $\ \lambda \notin \sigma(T)$ ולכן ברור שהספקטרום חסום על ידי $\| T \|$ (הנורמה של האופרטור).

לאור עובדה זאת, אפשר להגדיר את הרדיוס הספקטרלי באופן הבא:

$r(T) = \sup \{|\lambda| : \lambda \in \sigma(T)\}$

וניתן להראות שההפכי של רדיוס הוא רדיוס ההתכנסות של הטור. כמו כן יש לציין שהרדיוס הספקטרלי של אופרטור T תמיד חסום על ידי הנורמה של T.

[עריכה] הוכחה שהספקטרום סגור

ניתן להוכיח שהמשלים של הספקטרום היא קבוצה פתוחה. זוהי תוצאה כללית יותר של אלגברה לינארית הקובעת שאם A הפיך ו $\| A - B \| < \| A^{-1} \| ^{-1}$ אזי B הפיך גם כן. מכך מסיקים שקבוצת הנקודות הרגולריות פתוחה ולכן המשלים שלה - הספקטרום - היא קבוצה סגורה.

[עריכה] מיון נקודות ספקטרום

באופן אינטואיטיבי אפשר לומר שישנן מספר סיבות המונעות מאופרטור S להיות הפיך באלגברת בנך של האופרטורים החסומים מעל מרחב הילברט. כל סיבה כזאת מולידה סוג שונה של נקודות ספקטרום.

את הספקטרום אפשר למיין ל 3 מחלקות זרות הממצות אותו:

ספקטרום נקודתי $\ \sigma_p(T)$
ספקטרום רציף $\ \sigma_c(T)$
ספקטרום שארית $\ \sigma_\Gamma(T)$

[עריכה] ספקטרום נקודתי

אופרטור S איננו הפיך אם הוא לא חד-חד ערכי. באלגברה לינארית זה שקול לכך שהגרעין (kernel) שלו איננו טריוויאלי (כזה שמכיל רק את אפס).

אנו נאמר ש $\ \lambda \in \sigma_p(T)$ אם עבורה הרסולבר $\ T - \lambda I$ איננו הפיך מכיוון שהוא לא חד-חד-ערכי, כלומר:

$\ \mbox{ker}\left( T - \lambda I \right) \ne \{ 0 \}$ .

זה שקול לכך שקיים וקטור $\ v \ne 0$ כך ש $\ \left( T - \lambda I \right) v = 0$ או $\ Tv = \lambda v$ .

כלומר: $\ \lambda$ הוא ערך עצמי של T עם וקטור עצמי v ששונה מאפס. לכן, הספקטרום הנקודתי הוא בעצם קבוצת הערכים העצמיים של הווקטור.

[עריכה] ספקטרום רציף

אופרטור S איננו הפיך אם הוא לא חסום מלמטה בערכו המוחלט, שכן אם הוא איננו חסום מלמטה קיימת סדרה של נקודות שעבורם הערך של S שואף לאפס ולכן עבור ה"הפכי" של S נקבל סדרת ערכים שעבורם אותו הופכי איננו חסום (ואם סדרת נקודות זו מתכנסת, אזי ל S^-1 יש סינגולריות ולכן הוא לא קיים בכל המרחב.

באופן פורמלי, נאמר ש $\ \lambda \in \sigma_c(T)$ אם הרסולבר עבורה מקיים:

$\ \mbox{ker}\left( T - \lambda I \right) = \{ 0 \} \quad , \quad \mbox{Im} \left( T - \lambda I \right) \ne H \quad , \quad \overline{ \mbox{Im} \left( T - \lambda I \right) } = H$

או באופן שקול, קיימת עבורה סדרת נקודות $\ \{ x_n \} _{n=1}^{\infty} \subset H$ כך ש

$\ \lim_{n \to \infty} \| T x_n - \lambda x_n \| = 0$

באופן אינטואיטיבי אפשר לומר שנקודת ספקטרום רציף היא ערך עצמי $λ$ שהווקטור העצמי שלו v איננו נקודה במרחב הילברט שבו אנו עובדים (למשל: כי הוא בעל נורמה אינסופית, או שהוא לא מוגדר היטב). דוגמה נפוצה ל"וקטור עצמי" שאיננו איבר במרחב הילברט L₂ היא פונקציית דלתא של דיראק.

[עריכה] ספקטרום שארית או ספקטרום דחיסה

אופרטור S איננו הפיך אם הוא לא על, שכן אז ההפכי איננו חד-חד ערכי ואיננו מוגדר על כל המרחב.

באופן פורמלי, נאמר ש $\ \lambda \in \sigma_\Gamma(T)$ אם הרסולבר עבורה מקיים:

$\ \mbox{ker}\left( T - \lambda I \right) = \{ 0 \} \quad , \quad \mbox{Im} \left( T - \lambda I \right) \ne H \quad , \quad \overline{ \mbox{Im} \left( T - \lambda I \right) } \ne H$

כלומר תמונת הרסולבר איננה צפופה ב H, ובפרט הוא לא על.

[עריכה] תוצאות נוספות

את הרדיוס הספקטרלי ניתן לחשב על ידי $\ r(T) = \lim_{n \to \infty}{ \| T^n \| ^{1/n}}$ .
אם T אופרטור קומפקטי במרחב הילברט מתקיימת אלטרנטיבת פרדהולם: הספקטרום שלו הוא קבוצה קומפקטית, כאשר רק 0 יכולה להיות נקודת גבול ולגבי כל נקודה אחרת ב $\mathbb{C} - {0}$ היא עוד ערך עצמי (נקודת ספקטרום נקודתי) או שהיא נקודה רגולרית. כלומר: הספקטרום של אופקטור קומפקטי מורכב רק מערכים עצמיים (ספקטרום נקודתי) ואולי גם 0.
אם T אופרטור נורמלי במרחב הילברט אז ניתן ל"לכסן" אותו (משפט הפירוק הספקטרלי) באופן אנאלוגי ללכסון של מטריצה נורמלית בממד סופי.
משפט הפירוק הספקטרלי: אם T אופרטור הרמיטי (צמוד לעצמו) אזי קיים עבורו פירוק ספקטרלי (לכסון) ממשי: כלומר, ניתן להציגו כאינטגרל ספקטרלי ו/או טור פורייה, כאשר הספקטרום שלו כולו ממשי.