Regola di Cramer

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La regola di Cramer è un teorema di algebra lineare, che prende il nome dal matematico Gabriel Cramer, utile per risolvere un sistema di equazioni lineari usando il determinante, nel caso in cui il sistema abbia esattamente una soluzione.

Nel calcolo, è generalmente inefficiente e per questo non viene utilizzato nelle applicazioni pratiche in presenza di molte equazioni. Tuttavia, è di importanza teorica in quanto dà un'espressione esplicita per la soluzione del sistema.

Indice

1 La regola
2 Esempio
- 2.1 Due per due
- 2.2 Tre per tre
3 Applicazioni alla geometria differenziale
4 Voci correlate

[modifica] La regola

Un sistema di equazioni lineari può essere rappresentato usando moltiplicazione fra matrici come:

A x = c

dove $A$ è una matrice e $x, c$ sono due vettori. Se A è una matrice quadrata (cioè il numero di incognite del sistema è pari al numero di equazioni) ed è anche invertibile (determinante diverso da zero cioè rango della matrice uguale al numero di incognite), il teorema di Rouché-Capelli asserisce che il sistema ha esattamente una soluzione.

In questo caso, la regola di Cramer fornisce un algoritmo per calcolare la soluzione $(x_1,\ldots, x_n)$ usando il determinante nel modo seguente:

$x_i = { \det(A_i) \over \det(A)}$

dove $A i$ è la matrice formata sostituendo la iesima colonna di $A$ con il vettore $c$ . Notiamo che la condizione di invertibilità di A garantisce che il denominatore $det(A)$ sia diverso da zero, e quindi che l'espressione descritta abbia sempre senso.

[modifica] Esempio

[modifica] Due per due

Un sistema con 2 equazioni e 2 incognite

$\left\{ \begin{matrix} ax+by = e\\ cx+dy = f \end{matrix}\right.$

ha un unica soluzione se e solo se il determinante

$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} \neq 0$

è diverso da zero. In questo caso, la soluzione $(x, y)$ è data da

$x = \frac { \begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { ed - bf \over ad - bc}$

$y = \frac { \begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { af - ec \over ad - bc}$

[modifica] Tre per tre

Analogamente, un sistema con 3 equazioni e 3 incognite

$\left\{ \begin{matrix} ax + by + cz = j \\ dx + ey + fz = k \\ gx + hy + iz = l \end{matrix}\right.$

può essere scritto come prodotto fra matrici e vettori nel modo seguente

$\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} j \\ k \\ l \end{pmatrix}.$

Se la matrice $3\times 3$ ha determinante diverso da zero, il sistema ha una sola soluzione $(x, y, z)$ data da

$x = \frac { \begin{vmatrix} j & b & c \\ k & e & f \\ l & h & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }$ , $y = \frac { \begin{vmatrix} a & j & c \\ d & k & f \\ g & l & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }$ , $z = \frac { \begin{vmatrix} a & b & j \\ d & e & k \\ g & h & l \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }.$

[modifica] Applicazioni alla geometria differenziale

La regola di Cramer è estremamente utile per scrivere delle formule in geometria differenziale. Ad esempio, date due equazioni

F (x, y, u, v) = 0, G (x, y, u, v) = 0

in quattro variabili, due delle quali dipendono dalle altre nel modo seguente

x = X (u, v), y = Y (u, v),

è possibile calcolare

$\partial x/\partial u$

(ipotizzando che tutte queste funzioni siano sufficientemente derivabili) usando la regola di Cramer, nel modo seguente.

Prima si calcolino le prime derivate di F, G, x ed y.

$dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy +\frac{\partial F}{\partial u} du +\frac{\partial F}{\partial v} dv = 0$

$dG = \frac{\partial G}{\partial x} dx + \frac{\partial G}{\partial y} dy +\frac{\partial G}{\partial u} du +\frac{\partial G}{\partial v} dv = 0$

$dx = \frac{\partial X}{\partial u} du + \frac{\partial X}{\partial v} dv$

$dy = \frac{\partial Y}{\partial u} du + \frac{\partial Y}{\partial v} dv$

Sostituendo dx, dy in dF e in dG, abbiamo:

$dF = \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial v} \right) dv = 0$

$dG = \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial v} \right) dv = 0$

Poiché u, v sono entrambe indipendenti, i coefficienti di du, dv devono essere zero. Così possiamo scrivere le equazioni per i coefficienti:

$\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial F}{\partial u}$

$\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial G}{\partial u}$

$\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial F}{\partial v}$

$\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial G}{\partial v}$

Ora, dalla regola di Cramer, vediamo che:

$\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{\begin{vmatrix} -\frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial y} \\ -\frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial y} \\ \frac{\partial G}{\partial x} & \frac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}$

Questa è ora una formula in termini di due Jacobiane:

$\frac{\partial x}{\partial u} = - \frac{\left(\frac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(y, u\right)}\right)}{\left(\frac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(x, y\right)}\right)}$