Метод Крамера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Метод Крамера (Крамера правило) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причем для таких уравнений решение существует и единственно). Создан Габриэлем Крамером в 1750 году.

[править] Описание метода

Для системы $n$ линейных уравнений с $n$ неизвестными (над произвольным полем)

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\cdots\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n = b_n\\ \end{cases}$

с определителем матрицы системы $Δ$ , отличным от нуля, решение записывается в виде

$x_i=\frac{1}{\Delta}\begin{vmatrix} a_{11} \ldots a_{1,i-1} \,b_1 \,a_{1,i+1} \ldots a_{1n} \\ a_{21} \ldots a_{2,i-1} \,b_2 \,a_{2,i+1} \ldots a_{2n} \\ \,\cdots \cdots \cdots \cdots\cdots \cdots \cdots \cdots\, \\ a_{n1} \ldots a_{n,i-1} \,b_n \,a_{n,i+1} \ldots a_{nn} \\ \end{vmatrix}$

(i-й столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, ..., c_n справедливо равенство:

$(c_1x_1+c_2x_2+\dots+c_nx_n)\cdot\Delta = -\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} & b_2\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} & b_n\\ c_{1} & c_{2} & \ldots & c_{n} & 0\\ \end{vmatrix}$

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что $Δ$ отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы $b 1, b 2,..., b n$ и $x 1, x 2,..., x n$ , либо набор $c 1, c 2,..., c n$ состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

[править] Примечания

Из-за высокой вычислительной сложности метода — требуется вычисление $n + 1$ определителя размерности $n\times n$ , он не применяется для машинного решения больших СЛАУ. Однако он иногда используется при ручном счёте и в теоретических выкладках.

Категория: Линейная алгебра

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Метод Крамера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

[править] Описание метода

[править] Примечания

Views

Навигация

Участие

Поиск

На других языках