Quaterne di Ramanujan

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In teoria dei numeri una quaterna di Ramanujan è un insieme ordinato di quattro numeri naturali non nulli per cui la somma dei cubi del primo e del secondo numero è uguale alla somma dei cubi del terzo e del quarto numero.

In forma algebrica, la quaterna $(a, b, c, d)\in N$ è di Ramanujan se esiste un numero Q (necessariamente naturale non nullo) tale per cui:

$Q = a 3 + b 3 = c 3 + d 3$

La denominazione di quaterna di Ramanujan prende origine da uno dei più famosi aneddoti della storia della matematica moderna, secondo il quale il matematico inglese Godfrey Harold Hardy, recatosi in ospedale in visita al matematico indiano Srinivasa Ramanujan, tanto per dire qualcosa osservò che il numero del taxi che aveva preso (1729) sembrava piuttosto insulso. Al ché Ramanujan rispose immediatamente: No Hardy, è un numero estremamente interessante: è il minimo intero che si può esprimere come somma di due cubi in due modi diversi!

Per tale motivo, il numero 1729 = 1³ + 12³ = 9³ + 10³ è detto anche Numero di Hardy-Ramanujan.

Indice

1 Proprietà
2 Taxicab
- 2.1 Origine del termine Taxicab
3 Risolvente generale diofantea indiretta
4 Alcune soluzioni iniziali
5 Voci correlate
6 Fonti e riferimenti
7 Bibliografia

[modifica] Proprietà

In virtù della proprietà commutativa della somma, è immediato constatare che se $\left[a,b,c,d\right]$ è una quaterna di Ramanujan, lo sono anche tutte le quaterne ottenibili per permutazione di tali numeri che lascino le due coppie (non ordinate) di numeri $\left[a,b\right]$ e $\left[c,d\right]$ ai due membri opposti dell'uguaglianza (es. $\left[c,d,b,a\right]$ ).

È altresì immediato verificare che data una qualsiasi quaterna di Ramanujan $\left[a,b,c,d\right]$ ed un qualsiasi numero naturale non nullo $n$ , anche la quaterna $\left[na,nb,nc,nd\right]$ è di Ramanujan. Per tale motivo la ricerca delle quaterne di Ramanujan può essere limitata alle sole quaterne primitive, ovvero costituite da numeri coprimi.

[modifica] Taxicab

Per approfondire, vedi la voce Numero taxicab.

Particolari numeri naturali esprimibili sotto forma di somma di due numeri naturali al cubo sono detti numeri taxicab: il taxicab [n]-esimo Ta(n) è il più piccolo numero naturale che si può esprimere in n modi diversi come somma di due cubi positivi. Attualmente i numeri taxicab noti sono cinque.

Sigla	Numero
Ta(1)	2
Ta(2)	1.729
Ta(3)	87.539.319
Ta(4)	6.963.472.309.248
Ta(5)	48.988.659.276.962.496

[modifica] Origine del termine Taxicab

Il termine Taxicab deriva dal contesto in cui nacque. G.H.Hardy, amico e collega di Ramanujan, stava dicendo di essere arrivato al luogo di appuntamento con il matematico indiano con un taxi numero 1729, e gli confidò che gli sembrava un numero abbastanza insulso, privo di particolarità matematiche. Ramanujan gli rispose: «No, invece. É il più piccolo numero naturale esprimibile come somma di due cubi in due modi diversi». Ramanujan aveva trovato quel risultato curioso durante le sue ricerche quando viveva ancora in India. Il termine TaxiCab deriva quindi molto probabilmente dal Taxi (in inglese USA "cab") che Hardy aveva preso per raggiungere l'amico Ramanujan.

[modifica] Risolvente generale diofantea indiretta

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La Risolvente generale diofantea indiretta^[1] trova tutte le soluzioni diofantee (con valori interi), avvalendosi di una Relazione intermedia (con due variabili indipendenti, non suscettibile di ulteriore semplificazione) il cui valore [B] compare alla seconda potenza anziché alla prima potenza. Per tale motivo è necessario verificare che il risultato ottenuto sia un quadrato perfetto. La bontà del procedimento sta nel fatto che, utilizzando il computer, gli input, da quattro, si riducono a due.

Siano [B], [y] ed [h] tre numeri interi positivi tali che, scelti successivamente [y=1,2,3,...] ed [h=1,2,3,...], risulti [B^2] un quadrato perfetto. In un campo ristretto (es. i primi mille numeri, il computer impiega qualche secondo per trovarli tutti). Sia cioè (Risolvente principale):

[B²] = (3y(3(y²)+3y+1)+(3y+1)×(h²)

Siano ancora (Risolventi successive):

[A] = [A1] od [A2] (radici di una equazione di secondo grado)

[C] = [C1] od [C2] (radici di altra equazione di secondo grado)

[A1] = 3(y²)+(h²).

[A2] = [1].

[C1] = 3(y²)+3y+(h²).

[C2] = 3y+1.

[D] = [h].

Il Sistema risolvente è il seguente.:

[a] = ½(A+B)

[b] = ½(A-B)

[c] = ½(C+D)

[d] = ½(C-D)

[modifica] Alcune soluzioni iniziali

[Ramj.y.h.A.C]	y	h	B	A	C	D	a	b	c	d	Q
[Ramj.1.5.1.4]	1	5	11	1	4	5	12	-10	9	-1	1.729
[Ramj.2.1.13.19]	2	1	11	13	19	1	12	1	10	9	1.729
[Ramj.2.5.37.43]	2	5	17	37	43	5	27	10	24	19	20.683
[Ramj.2.11.133.139]	2	11	31	133	139	11	82	51	75	64	684.019
[Ramj.2.11.1.7]	2	11	31	1	7	11	16	-15	9	-2	4.104
[Ramj.2.25.637.643]	2	25	67	637	643	25	352	285	334	309	66.763.333
[Ramj.2.25.1.7]	2	25	67	1	7	25	34	-16	33	-9	40.033
[Ramj.2.41.1693.1699]	2	41	109	1693	1699	41	901	792	870	829	1.228.225.789
[Ramj.2.41.1.7]	2	41	109	1	7	41	55	-54	24	-17	171.288
[Ramj.2.91.8293.8299]	2	91	241	8293	8299	91	4267	4026	4195	4104	142.946.631.739
[Ramj.2.91.1.7]	2	91	241	1	7	91	121	-120	49	-42	1.845.649