Ultimo teorema di Fermat

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L'ultimo Teorema di Fermat afferma che non esistono soluzioni intere positive all'equazione:

se n > 2.

L'ipotesi fu formulata da Pierre de Fermat nel 1637. Egli non fornì però una dimostrazione, che fu cercata a lungo nei secoli a venire.

Quadro raffigurante Pierre de Fermat

Fermat scrisse, a proposito di essa, ai margini di una copia dell'Arithmetica di Diofanto, sulla quale era solito formulare molte delle sue famose teorie:

"Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina".

La dimostrazione del "Teorema di Fermat" fu cercata tra gli altri da:

1. Eulero, che, nel XVII secolo, formulò una dimostrazione valida solo per n=3,
2. Adrien-Marie Legendre, che risolse il caso n=5,
3. Sophie Germain, che, lavorando sul teorema, scoprì che esso era probabilmente vero per n uguale ad un particolare numero primo p, tale che 2p + 1 è anch'esso primo: i primi di Sophie Germain.

Solo nel 1994, dopo 7 anni di dedizione completa al problema, e dopo un falso allarme nel 1993, Andrew Wiles, affascinato dal teorema che da bambino sognava di risolvere, riuscì a dare finalmente una dimostrazione. Utilizzò tuttavia elementi di matematica ed algebra moderna che Fermat non poteva conoscere; di conseguenza, il teorema può essere riferito anche con il nome di teorema di Fermat - Wiles.

È chiaro quindi come la soluzione di Wiles (pubblicata nel 1995 e premiata due anni dopo, il 27 giugno 1997 con il Premio Wolfskehl consistente in una borsa di 50.000 dollari) non sia la stessa che Fermat affermava di aver trovato; quasi tutti i matematici sono dell'idea che Fermat si fosse sbagliato e non possedesse una dimostrazione corretta.

[modifica] Il contesto matematico

L'ultimo teorema di Fermat è una generalizzazione dell'equazione diofantea a² + b² = c². Già antichi Greci e Babilonesi sapevano che questa equazione ha delle soluzioni intere, come (3, 4, 5) (3² + 4² = 5²) o (5, 12, 13). Queste soluzioni sono conosciute come terne pitagoriche e ne esistono infinite, anche escludendo le soluzioni banali per cui a, b e c hanno un divisore in comune e quelle ancor più banali in cui almeno uno dei numeri è uguale a zero.

Secondo l'ultimo teorema di Fermat, non esistono soluzioni intere positive quando l'esponente 2 è sostituito da un numero intero maggiore. Mentre il teorema stesso non si presta a nessuna applicazione, cioè non è stato usato per dimostrare altri teoremi, è particolarmente noto per la sua correlazione con molti argomenti matematici che apparentemente non hanno nulla a che vedere con la teoria dei numeri, e per questo motivo non è soltanto una curiosità matematica di poca importanza. Inoltre, la ricerca di una dimostrazione è stata all'origine dello sviluppo di importanti aree della matematica.

[modifica] Le origini

Il teorema deve essere dimostrato soltanto per n=4 e nel caso in cui n è un numero primo: se infatti si trovasse una soluzione a^kp + b^kp = c^kp, si avrebbe immediatamente una soluzione (a^k)^p + (b^k)^p = (c^k)^p.

Fermat stesso ha dimostrato in un altro suo lavoro il caso n=4, anzi il risultato più forte che non esiste una terna (a, b, c) tale che a⁴ + b⁴ = c² (ovviamente, se non esiste un c elevato al quadrato, non può nemmeno essercene uno elevato alla quarta potenza). Nel corso degli anni il teorema venne dimostrato per un numero sempre maggiore di esponenti speciali n, ma il caso generale rimaneva irrisolto.

Eulero dimostrò il teorema per n=3, Dirichlet e Legendre fecero lo stesso per n=5 nel 1825, Gabriel Lamé dimostrò il caso n=7 nel 1839.

Nel 1983 Gerd Faltings dimostrò la congettura di Mordell, che implica che per ogni n > 2, c'è al massimo un numero finito di interi coprimi a, b e c con aⁿ + bⁿ = cⁿ.

[modifica] La dimostrazione

Utilizzando sofisticati strumenti della geometria algebrica (in particolare curve ellittiche e forme modulari), della teoria di Galois e dell'algebra di Hecke, Andrew Wiles, dell'università di Princeton, con l'aiuto del suo primo studente Richard Taylor, diede una dimostrazione dell'ultimo teorema di Fermat che è stata pubblicata nel 1995 sulla rivista Annals of mathematics. Nel 1986, Ken Ribet aveva dimostrato la congettura epsilon di Gerhard Frey secondo la quale ogni contro-esempio aⁿ + bⁿ = cⁿ all'ultimo teorema di Fermat avrebbe prodotto una curva ellittica definita come:

che fornirebbe un contro-esempio alla congettura di Taniyama - Shimura.

Quest'ultima congettura propone un collegamento profondo fra le curve ellittiche e le forme modulari. Wiles e Taylor potevano stabilire un caso speciale della congettura di Taniyama-Shimura sufficiente per escludere tali contro-esempi in seguito all'ultimo teorema di Fermat. La storia della dimostrazione è così notevole quanto il mistero del teorema in sé. Wiles trascorre sette anni per risolvere quasi tutti i particolari da solo e con la massima segretezza (tranne una fase finale di revisione per cui si è avvalso dell'aiuto del suo collega di Princeton, Nick Katz). Quando ha annunciato la dimostrazione nel corso di tre conferenze tenute all'università di Cambridge tra il 21-23 giugno 1993, ha stupito il pubblico per il numero di idee e di costruzioni usate nella dimostrazione. Purtroppo, dopo un controllo più ravvicinato è stato scoperto un serio errore che ha sembrato condurre alla ripartizione di questa dimostrazione originale. Wiles e Taylor allora hanno trascorso circa un anno per far rivivere la dimostrazione e nel settembre 1994, hanno dato la dimostrazione finale e corretta utilizzando alcune tecniche differenti che Wiles aveva scartato nei suoi primi tentativi.

Tuttavia, gli strumenti matematici utilizzati non erano conosciuti ai tempi di Fermat, quindi sussiste il mistero sulla dimostrazione che questi ne avrebbe fornito.

[modifica] Fermat ha dato realmente una dimostrazione?

La citazione in latino diceva:

Ci sono seri dubbi riguardo la rivendicazione di Fermat di aver trovato una dimostrazione veramente importante, che fosse corretta.

La lunghezza della dimostrazione di Andrew Wiles è circa 200 pagine ed è oltre la comprensione della maggior parte dei matematici di oggi. Spesso le dimostrazioni iniziali della maggior parte dei risultati non sono tipicamente le più dirette, è quindi possibile che ci sia una dimostrazione più corta e più elementare. Non è però verosimile che la dimostrazione di Wiles possa essere semplificata fino ad essere esprimibile con gli strumenti matematici posseduti da Fermat.

I metodi utilizzati da Wiles erano difatti sconosciuti quando Fermat scriveva e pare estremamente improbabile che Fermat sia riuscito a derivare tutta la matematica necessaria per dimostrare una soluzione. Andrew Wiles stesso ha affermato "è impossibile; questa è una dimostrazione del XX secolo".

Dunque, o esiste una dimostrazione più semplice che tutti gli altri matematici finora non hanno trovato, o, più probabilmente, Fermat semplicemente si sbagliò. Per questo sono particolarmente interessanti alcune dimostrazioni errate, ma ad una prima analisi plausibili, e che fossero alla portata di Fermat. La più nota si basa sul presupposto erroneo che l'unicità della scomposizione in fattori primi funzioni in tutti gli anelli degli elementi integrali dei campi sui numeri algebrici.

Questa è una spiegazione accettabile per molti esperti della teoria dei numeri, considerando che molti maggiori matematici successivi che hanno lavorato sul problema hanno seguito questo percorso e talvolta hanno anche creduto di aver dimostrato il teorema.

Il fatto che Fermat non abbia pubblicato, né comunicato a qualche amico o collega, nemmeno un abbozzo della dimostrazione può essere un indizio di un suo successivo ripensamento dovuto ad una tardiva scoperta di un errore nel suo tentativo di dimostrazione. Fermat, inoltre, pubblicò successivamente una dimostrazione per il caso speciale n=4 (ovvero a⁴ + b⁴ = c⁴). Se realmente avesse ritenuto di possedere una dimostrazione per il teorema generale, forse avrebbe preferito pubblicare quest'ultima e non il caso particolare.

Simon Singh nel suo romanzo L'Ultimo Teorema di Fermat ipotizza che il matematico francese non pubblicò un solo rigo di ciò che andava scrivendo, per il solo fatto che all'epoca non era così usuale pubblicare testi di matematica. A sostegno del fatto, si cita come Eulero venne a conoscenza dell'ultimo teorema solo alla pubblicazione dell'Aritmetica di Diofanto del matematico francese Claude Gaspard Bachet de Méziriac(1581 - 1638) su cui Fermat aveva appuntato la "famosa nota a margine".

[modifica] Bibliografia

• Amir D. Aczel. L’enigma di Fermat, Net 1998. ISBN 8851520828
• Douglas Richard Hofstadter. Gödel, Escher, Bach: un’eterna ghirlanda brillante. Milano, Adelphi 1979. ISBN 8845907554
• Simon Singh. L’ultimo teorema di Fermat. Milano, Rizzoli 1999. ISBN 8817112917

[modifica] Voci correlate

• Teoria dei numeri
• Numero primo
• Teorema di Pitagora
• Il teorema del pappagallo, romanzo che ruota intorno all'UTF

[modifica] Altri progetti

• Wikibooks contiene testi o manuali su L'ultimo teorema di Fermat

[modifica] Collegamenti esterni

• Post su sci.math riportante il testo dell'annuncio della dimostrazione di Wiles da parte di Karl Rubin