Potenza (elettrotecnica)

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Nota disambigua – Se stai cercando l'energia elettrica, misurata in wattora o in joule, vedi Energia elettrica.

In elettrotecnica la potenza è definita come il lavoro svolto da una carica elettrica in un campo elettrico nell'unità di tempo. Si tratta semplicemente della definizione data in fisica nel caso particolare in cui le uniche forze presenti siano quelle dovute al campo elettrico.

Esprimendola tramite le grandezze usate in elettrotecnica si ottiene:

$p(t) = v(t)\cdot i(t)$

dove $p (t)$ è la potenza entrante (uscente) in una porta di un componente n-porta se la tensione $v (t)$ e la corrente $i (t)$ sono misurati con un verso che rispetti la convenzione degli utilizzatori (convenzione dei generatori). Generalmente la potenza espressa in funzione del tempo viene chiamata potenza istantanea per distinguerla dalle grandezze usate nei sistemi periodici (che sono invece delle medie sul periodo).

Indice

1 Circuiti lineari in corrente continua
2 Circuiti lineari in regime sinusoidale monofase
3 Sistemi polifase
4 Regime periodico non sinusoidale
5 Massimo trasferimento di potenza

[modifica] Circuiti lineari in corrente continua

In corrente continua tutta la potenza fornita dai generatori è dissipata sui resistori del circuito (raramente anche sui generatori: per esempio nella serie tra un generatore di corrente e uno di tensione). La potenza istantanea assorbita da un resistore lineare, il cui valore di resistenza è R, si può calcolare, come in qualsiasi regime di funzionamento, con la legge di Ohm. La potenza p(t) sarà allora data dalla formula generale:

$p(t) = v(t)i(t) = R i^2(t) = \frac{v^2(t)}{R}$

se v(t) e i(t) sono, rispettivamente, la tensione e la corrente misurate nell'istante t sul bipolo secondo la convenzione degli utilizzatori. In corrente continua si può semplicemente scrivere:

$P = R I^2 = V I = \frac{V^2}{R}$

[modifica] Circuiti lineari in regime sinusoidale monofase

Nei circuiti in regime sinusoidale (o corrente alternata) monofase la potenza istantanea su un generico bipolo (o su una porta di un componente n-porta) sarebbe scritta come:

$p(t) = V_M \sin{\left(\omega t + \varphi\right)} \cdot I_M \sin{\omega t} = \frac{1}{2} \cdot \left[V_M I_M\, \cos{\varphi} \cdot \left( 1 - \cos{ 2 \omega t }\right) + V_M I_M\, \sin{\varphi}\, \sin{2 \omega t} \right]$

Si tratta quindi di una sinusoide con frequenza doppia rispetto a quelle di tensione e corrente. φ è l'angolo di sfasamento. Una componente (quella in $\cos{\varphi}$ ) si mantiene sempre positiva e rappresenta quindi la potenza assorbita dal bipolo (potenza attiva). L'altra componente (quella in $\sin{\varphi}$ ) invece oscilla attorno allo zero e rappresenta quindi la potenza alternativamente immagazzinata e ceduta dal bipolo (potenza reattiva).

[modifica] Potenza attiva

Facendo la media della potenza istantanea sul periodo otteniamo:

$P = \frac{\int_{T} p(t)\, dt}{T} = \frac{V_M I_M}{2} \cos{\varphi} = V_{eff} I_{eff} \cdot \cos{\varphi}$

Questa grandezza rappresenta l'energia assorbita dal bipolo in un periodo (o generata, a seconda della convenzione utilizzata) e viene quindi chiamata potenza attiva o potenza reale. È legata, come detto sopra, alla componente a segno costante della potenza istantanea.

La definizione di media sul periodo della potenza istantanea resta valida in qualunque regime periodico. La potenza attiva si misura in watt (W).

[modifica] Potenza reattiva

Alcuni bipoli (bipoli reattivi) come induttori e condensatori sono in grado di immagazzinare energia e cederla successivamente. Poiché gli scambi avvengono in modo conservativo, l'energia complessivamente ceduta o assorbita in un periodo è nulla, come evidenziato dal termine in $\sin{\varphi}$ (potenza reattiva istantanea) nella formula della potenza istantanea. L'effetto complessivo è che corrente e tensione vengono sfasate.

Per tenere conto di questo fenomeno, si introduce la potenza reattiva, che in regime sinusoidale viene definita come la massima potenza reattiva istantanea, cioè:

$Q = \frac{V_M I_M}{2} \sin{\varphi} = V_{eff} I_{eff} \cdot \sin{\varphi}$

Di nuovo $φ$ è l'angolo di sfasamento. In regimi periodici non sinusoidali la definizione di potenza reattiva è meno intuitiva (vedere sotto). In regime sinusoidale è la parte immaginaria della potenza complessa. L'unità di misura è preferibilmente il voltampere reattivo (VAr).

Partendo da tensione v(t) e corrente i(t) istantanei è possibile calcolare la potenza reattiva utilizzando la seguente formula:

$Q = \frac{1}{2\cdot\omega} \cdot \big(v(t)\frac{di(t)}{dt}-i(t)\frac{dv(t)}{dt}\big) = V_{eff} I_{eff} \cdot \sin{\varphi}$

ponendo:

$v(t) = V_M\cdot\sin (\omega t)\qquad i(t)=I_M\cdot\sin (\omega t-\varphi)$

[modifica] Potenza apparente

Per quanto non dissipino energia, i bipoli reattivi fanno sì che in alcuni intervalli di tempo la corrente che circola sia maggiore di quella necessaria ai carichi resistivi (e quindi anche la potenza istantanea ceduta dal generatore). Per dimensionare opportunamente conduttori e generatori si introduce allora la potenza apparente:

$P_A = \frac{V_M I_M}{2} = V_{eff} \cdot I_{eff}$

In regime sinusoidale, corrisponde all'ampiezza dell'oscillazione della potenza istantanea. In regimi periodici non sinusoidali la definizione è sempre il prodotto dei valori efficaci di tensione e corrente. Si misura in voltampere (VA).

[modifica] Potenza complessa

Per approfondire, vedi la voce Potenza complessa.

Per comodità, definiamo potenza complessa così:

$\bar{S} = P + iQ = P_A e^{i \varphi}$

dove i è l'unità immaginaria, e il numero di Nepero, P_A e φ sono il modulo e l'argomento della potenza.

Questa grandezza esprime in modo compatto tutte le altre introdotte finora. In termini fasoriali, per un'impedenza:

ricordando che $\bar{Z} = Z\left(\cos{\varphi} + i\sin{\varphi}\right) = R + i X$ si ha:

$\bar{S} = \frac{\bar{V} \cdot \bar{I}^*}{2} = \bar{Z} \cdot I_{eff}^2 = RI_{eff}^2 + iXI_{eff}^2$

dove $\bar{V}$ è il fasore della tensione e $\bar{I}^*$ è il coniugato del fasore della corrente.

I tre valori di $P$ , $Q$ e $P A$ sono quindi tra loro legati dal fattore di potenza $cos (\varphi)$ , che è il coseno dell'angolo φ di sfasamento tra corrente ( $\bar{I}$ ) e tensione ( $\bar{V}$ ).

[modifica] Rappresentazione fasoriale

Immaginiamo di tracciare in un diagramma polare di Argand i fasori di corrente e tensione. La tensione è rappresentata da un fasore che dall'origine si dirige orizzontalmente verso destra. Poiché la tensione è presa come riferimento per lo sfasamento non ha componente immaginaria. La corrente invece viene scomposta nella componente reale, che si sovrappone per direzione e verso alla tensione, e nella parte immaginaria, che appare ruotata di 90° (parte superiore del grafico) per le componenti induttive e -90° (parte inferiore del grafico) per le componenti capacitive. La potenza attiva è il prodotto fasoriale di tensione e parte reale della corrente, per cui giace sovrapposta al fasore della tensione (P nel grafico). Il prodotto fasoriale tra tensione e parte immaginaria della corrente origina il fasore Q nel grafico, il cui verso dipende dalla natura dello sfasamento. Se in un circuito è presente sia una parte induttiva si una capacitiva si può facilmente intuire come la potenza reattiva si compensi, in quanto somma fasoriale di due fasori con uguale direzione ma verso opposto.

Dal grafico deriva che il legame tra le tre potenze può essere rappresentato anche graficamente tramite un triangolo rettangolo avente per ipotenusa il fasore della potenza apparente S e come cateti i fasori della potenza attiva P e della potenza reattiva Q. Ovviamente l'angolo tra i cateti sarà un angolo di 90 gradi mentre l'angolo compreso tra P ed S sarà l'angolo φ, cioè l'angolo di sfasamento tra tensione e corrente.

[modifica] Teorema di Boucherot

La somma delle potenze attive (o reattive) erogate dai generatori in un circuito lineare e senza dissipazioni è uguale alla somma delle potenze attive (o reattive) assorbite dai bipoli. Il teorema esprime il fatto che le due grandezze sono completamente indipendenti l'una dall'altra, giustificando, tra l'altro, l'uso di unità di misura diverse.

È notevole, per esempio, che alcuni generatori (come per esempio un motore asincrono fatto funzionare con scorrimento negativo) non siano in grado di fornire potenza reattiva. Se collegati in un generico circuito non sono infatti in grado di alimentare un carico (che normalmente ha anche una componente reattiva, anche solo per effetti di capacità parassita). Di solito, sono schematizzati come resistenze negative per evidenziare questo fatto.

Dimostrazione

Partendo dal teorema di Tellegen, in forma fasoriale, si ha:

$\sum_{k=1}^l \bar{V}_k \, \bar{I}_k = 0 = \sum_{k=1}^l \bar{V}_k \, \bar{I}_k^*$

Dove la somma è fatta sui k bipoli del circuito (supponiamo di usare la convenzione degli utilizzatori). Poi, separiamo i termini dovuti a generatori e quelli dovuti a impedenze. Per i termini dovuti a generatori il prodotto $\bar{V}\cdot\bar{I}^*$ rappresenta la potenza complessa erogata dal generatore (cambiata di segno, data la convenzione usata). Scriviamo i termini dovuti a impedenze sostituendo $\bar{V} = \bar{Z}\bar{I}$ e otteniamo:

$\sum_{k=1}^l \left( -\bar{S}_k + \bar{Z}*{I_{eff_k}}^2 \right) = \sum_{k=1}^l \left( -P_k -iQ_k + R_kI_{eff_k}^2 + iX_kI_{eff_k}^2 \right) = 0$

dove P e Q sono le potenze attive e reattive erogate dai generatori. Uguagliando a zero parte reale e parte immaginaria, otteniamo la tesi:

$\sum_{k=1}^l P_k = \sum_{k=1}^l R_kI_{eff_k}^2$

$\sum_{k=1}^l Q_k = \sum_{k=1}^l X_kI_{eff_k}^2$

[modifica] Sistemi polifase

Quanto descritto nella sezione precedente è riferito ad un sistema monofase, costituito cioè da un circuito con un unico generatore.

Quando si passi a considerare un sistema costituito da più fasi, per esempio il sistema trifase comunemente utilizzato nella distribuzione elettrica, le potenze sono date dalle seguenti formule, valide per il sistema trifase ma generalizzabili a più fasi:

$P = P_1 + P_2 +P_3\;$

$Q = Q_1 + Q_2 +Q_3\;$

$P_A = \sqrt { P^2 + Q^2 }$

Se il sistema è simmetrico ed equilibrato, si possono esprimere anche in funzione delle grandezze di linea (come viene sempre fatto nei dati di targa) o delle grandezze di fase. Basta tenere conto della relazione tra grandezze di fase e di linea e si ottiene:

$P = 3 \cdot V_{f_{eff}} I_{f_{eff}} \cos{\varphi} = \sqrt{3} \cdot V_{l_{eff}} I_{l_{eff}} \cos{\varphi}$

$Q = 3 \cdot V_{f_{eff}} I_{f_{eff}} \sin{\varphi} = \sqrt{3} \cdot V_{l_{eff}} I_{l_{eff}} \sin{\varphi}$

$P_A = 3 \cdot V_{f_{eff}} I_{f_{eff}} = \sqrt{3} \cdot V_{l_{eff}} I_{l_{eff}}$ .

Una caratteristica del sistema trifase è che la potenza istantanea (ovvero misurata in un istante arbitrariamente piccolo) coincide con la potenza attiva. Per ogni singola fase si ha ( $\varphi$ è lo sfasamento tra tensione e corrente, ω è la frequenza di oscillazione, t è il tempo):

$p_n(t) = V_n I_n \,\cdot\, \sin{\omega t}\, \cdot \,\sin({\omega t - \varphi}) = V_n I_n \cdot \left(\sin^2{\omega t} \cdot \cos{\varphi} - \sin{\varphi} \cdot \sin{\omega t} \cdot \cos{\omega t} \right) =$

$= V_n I_n \cdot \left( \frac {1-\cos{2 \omega t}} 2 \cdot \cos{\varphi} - \frac 1 2 \sin{\varphi} \cdot \sin{2 \omega t} \right) = \frac {V_n I_n} 2 \cdot \cos{\varphi} - \frac {V_n I_n} 2 \cdot \cos{(2 \omega t - \varphi)}$

L'ultima equazione mostra che la potenza istantanea è composta da un primo termine costante che equivale alla potenza attiva e un secondo termine funzione sinusoidale del tempo. Sommando i valori ottenuti per le tre fasi, i secondi termini delle equazioni, essendo sfasati di 120° si annullano, e la potenza istantanea risulta uguale alla somma dei primi termini, costanti.

[modifica] Regime periodico non sinusoidale

Questi sistemi vengono studiati tramite l'analisi di Fourier, spesso scritta utilizzando i fasori (a partire dalla forma polare). Utilizzando questo strumento, si può calcolare la potenza attiva nella rete come somma delle potenze attive calcolate singolarmente per ciascuna armonica. In generale, quindi, bisognerà studiare separatamente il circuito per ciascuna delle armoniche (come si farebbe per il regime sinusoidale) disattivando i generatori (o le loro componenti) a frequenze diverse; solo alla fine si potranno sommare i risultati ottenuti per ciascuna armonica.

Un'ulteriore complicazione è data dal fatto che tensione e corrente possono avere forme d'onda diverse. Questo rende arduo definire la potenza reattiva in accordo al suo significato fisico; per analogia con la potenza attiva si definisce come somma delle potenze reattive calcolate per ciascuna armonica. Non vale più il teorema di Boucherot, e $P_A^2 \ne P^2 + Q^2$ . Per tenere conto di questo effetto si definisce la potenza deformante, che è nulla per i circuiti che non modificano la forma d'onda. La potenza reattiva viene invece definita utilizzando i valori efficaci (complessivi) di tensione e corrente; non è, quindi, la somma delle potenze apparenti.

Indicando con gli indici n i fasori della serie di Fourier e con $\varphi_n$ lo sfasamento tra la tensione $V n$ e la corrente $I n$ , si definiscono:

$P = \frac{1}{T} \int_{T} p(t)\, dt = \sum_n V_{{eff}_n} I_{{eff}_n} \cdot \cos{\varphi_n} = \sum_n P_n$

$Q = \sum_n V_{{eff}_n} I_{{eff}_n} \cdot \sin{\varphi_n} = \sum_n Q_n$

$P_A = V_{eff} \cdot I_{eff} = \sqrt{\sum_n V_{{eff}_n}^2} \cdot \sqrt{\sum_n I_{{eff}_n}^2}$

$D^2 = P_A^2 - (P^2 + Q^2)$

[modifica] Massimo trasferimento di potenza

Poiché, secondo il teorema di Thevenin, ogni bipolo resistivo (o adinamico) composto cioè da soli resistori, generatori indipendenti, generatori controllati o giratori può essere rappresentato come una serie tra un resistore (detto resistore equivalente di thevenin $R t h$ ) e un generatore di tensione indipendente (generatore equivalente di thevenin $E t h$ ), si può determinare la massima potenza erogabile dal bipolo. Ciò avverrà quando il bipolo stesso è chiuso su un resistore il cui valore di resistenza è uguale alla $R t h$ .

Dimostrazione

Schema massima potenza ottenibile con circuito Thevenin

Applichiamo un generatore reale di tensione ai due morsetti una generica resistenza R. Sia quindi $P = VI = R i^2\,\!$ e $i = \frac{E_{th}}{R+R_{th}}$ . Sostituendo si ottiene la relazione tra la potenza erogata dal circuito e la resistenza applicata: $P = \frac{R \ E_{th}^2}{(R + R_{th})^2}$ . Per ottenere il valore massimo si deve annullare la derivata di questa funzione: $\frac{d P}{d R} = 0$ . Sviluppando si ottiene $P = \frac{E_{th}^2 }{ \frac{R^2 + 2 R R_{th} + R_{th}^2}{R} }$ , quindi ci interessa solo la derivata del denominatore: $\frac{d_{denom} P}{dR} = \frac{R(2R + 2R_{th}) - (R^2 + 2 R R_{th} + R_{th}^2)}{R^2} =$ $= \frac{R^2 - R_{th}^2}{R^2} = 0 \rightarrow R = R_{th}$ .

Ne consegue, tramite una semplice sostituzione, che la potenza massima erogata sarà data dal seguente valore: $P_{max} = \frac{E_{th}^2}{4 R_{th}}$ .

Il teorema si estende facilmente a circuiti lineari in regime periodico sinusoidale. In questo caso si vuole non solo che siano identiche le resistenze, ma anche che si annulli la reattanza (nella dimostrazione di cui sopra comparirà al denominatore sommata in quadratura alla resistenza). Questo risultato si ottiene, per esempio, ponendo un condensatore in parallelo a un carico induttivo in modo che vi sia risonanza. In questo modo i bipoli reattivi scambiano energia solo tra di loro, così che la potenza reattiva erogata dal generatore sia nulla e quindi la corrente erogata dal generatore sia sia solo quella che effettivamente compirà lavoro utile. Questo è di particolare importanza negli impianti elettrici, il cui adattamento prende il nome di rifasamento.

Categoria: Elettrotecnica

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