Paradosso Einstein-Podolsky-Rosen

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Il paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen (paradosso EPR) è un esperimento ideale che dimostra come una misura eseguita su una parte di un sistema quantistico può propagare istantaneamente (interpretazione di Copenhagen) un effetto sul risultato di un'altra misura, eseguita successivamente su un’altra parte dello stesso sistema quantistico, indipendentemente dalla distanza che separa le due parti.

Questo effetto è noto come "azione istantanea a distanza" ed è incompatibile con il postulato alla base della relatività ristretta, che considera la velocità della luce la velocità limite alla quale può essere accelerata una massa.

Albert Einstein, Boris Podolsky e Nathan Rosen proposero questo esperimento ideale in un articolo pubblicato nel 1935 intitolato "La descrizione quantistica della realtà fisica può ritenersi completa?", con l’intento di dimostrare che la meccanica quantistica non è una teoria fisica completa. Cinque mesi dopo Niels Bohr rispose all'argomento di EPR con un articolo intitolato allo stesso modo. La posizione di Bohr è stata a lungo considerata come ulteriore vittoria del suo scontro con Einstein, benché oggi si riconosca apertamente che la sua posizione era piuttosto oscura e non può essere certo considerata soddisfacente come risposta a EPR. Sempre nello stesso anno, Erwin Schrödinger pubblicò l'articolo in cui descrive l'esperimento del famoso gatto, cercando di chiarire l'idea della sovrapposizione di stati nella meccanica quantistica. Si deve a David Bohm, nel 1951, una riformulazione del paradosso in termini più facilmente provabili sperimentalmente.

Il paradosso EPR rappresenta in realtà un effetto fisico, la cui interpretazione ha degli aspetti paradossali nel senso seguente. Se in un sistema quantistico ipotizziamo vere alcune deboli e generali condizioni che devono essere ragionevolmente vere per qualunque teoria che descriva la realtà fisica senza contraddire la relatività (ad esse ci si riferisce come "realismo", "località" e "completezza"), allora giungiamo ad una contraddizione. Tuttavia è da notare che di per sé la meccanica quantistica non è intrinsecamente contraddittoria, né risulta contraddire la relatività.

Ulteriori sviluppi teorici e sperimentali seguiti all'originale articolo di EPR hanno portato una gran parte dei fisici a considerare il paradosso EPR come un illustre esempio di quanto la meccanica quantistica faccia a pugni con l'intuizione classica, quell'intuizione che deriva da esperienze pratiche quotidiane che si fanno a livello macroscopico, e non come un elemento cruciale che dimostri che la meccanica quantistica sia intrinsecamente incompleta (per quanto la questione non sia assolutamente chiusa).

Benché originariamente proposto come esperimento pensato per mettere in luce l'incompletezza della meccanica quantistica, i risultati sperimentali attuali dimostrano effettivamente gli effetti non-locali, andando in direzione opposta alle intenzioni originali dei tre scienziati.

Indice

1 Descrizione del paradosso
2 Risoluzione del paradosso
3 Formulazione matematica
4 Voci correlate
5 Bibliografia
- 5.1 Articoli selezionati
- 5.2 Libri
6 Collegamenti esterni

[modifica] Descrizione del paradosso

Il paradosso EPR si basa su un fenomeno predetto dalla meccanica quantistica, conosciuto come entanglement quantistico, per mostrare che misure compiute su parti di un sistema fisico separate spazialmente possono avere in apparenza un'influenza istantanea l'una sull'altra. Questo effetto è noto come non località. Per illustrare tutto questo, consideriamo la versione semplificata dell'esperimento ideale di EPR, formulata da David Bohm.

[modifica] Misure su uno stato entangled

Si supponga di avere una sorgente che emette coppie di elettroni, uno dei quali viene inviato alla destinazione A, dove c'è un'osservatrice di nome Alice, e l'altro viene inviato alla destinazione B, dove c'è un osservatore di nome Bob. Secondo la meccanica quantistica, possiamo sistemare la sorgente in modo che ciascuna coppia di elettroni emessi occupi uno stato quantistico detto singoletto di spin. Questo si può descrivere come sovrapposizione quantistica di due stati, indicati con I e II. Nello stato I, l'elettrone A ha spin parallelo all'asse z (+z) e l'elettrone B ha spin antiparallelo all'asse z (-z). Nello stato II, l'elettrone A ha spin -z e l'elettrone B ha spin +z. È quindi impossibile associare ad uno dei due elettroni nel singoletto di spin uno stato di spin definito: gli elettroni sono quindi detti entangled, cioè intrecciati.

Riproposizione dell'esperimento suggerito da Einstein, Podolsky e Rosen, eseguito con elettroni. Una sorgente invia elettroni verso due osservatori, Alice (a sinistra) e Bob (a destra), i quali sono in grado di eseguire misure della proiezione dello spin degli elettroni lungo un asse.

Alice misura lo spin lungo l'asse z. Ella può ottenere uno dei due possibili risultati: +z o -z. Supponiamo che ottenga +z. Secondo la meccanica quantistica, la funzione d'onda che descrive lo stato di singoletto dei due elettroni, collassa nello stato I (le diverse interpretazioni della meccanica quantistica dicono questo in diversi modi, ma il risultato alla fine è lo stesso). Lo stato quantistico determina le probabilità dei risultati di qualunque misura fatta sul sistema. In questo caso, se Bob successivamente misurasse lo spin lungo l'asse z, otterrebbe -z con una probabilità del 100%. Analogamente, se Alice misurasse -z, Bob otterrebbe +z, sempre con una probabilità del 100%.

Naturalmente non c'è niente di speciale nella scelta dell'asse z. Ad esempio, supponiamo che Alice e Bob decidano di misurare lo spin lungo l'asse x. Secondo la meccanica quantistica, lo stato di singoletto di spin può essere espresso adeguatamente come sovrapposizione di stati di spin lungo la direzione x, stati che chiameremo Ia e IIa. Nello stato Ia l'elettrone di Alice ha spin +x, quello di Bob ha spin -x, invece nello stato IIa l'elettrone di Alice ha spin -x, quello di Bob ha spin +x. Quindi, se Alice misura +x, il sistema collassa in Ia, e Bob misurerà -x, con probabilità del 100%; se Alice misura -x, il sistema collassa in IIa e Bob misurerà +x, con probabilità del 100%.

In meccanica quantistica, la proiezione dello spin lungo x e quella lungo z sono osservabili tra loro incompatibili, per cui gli operatori associati non commutano, cioè uno stato quantistico non può possedere valori definiti per entrambe le variabili (principio di indeterminazione). Supponiamo che Alice misuri lo spin lungo z e ottenga +z, in modo che il sistema collassi nello stato I. Ora, invece di misurare lo spin lungo z, Bob misura lo spin lungo x : secondo la meccanica quantistica, c'è il 50% di probabilità che egli ottenga +x e il 50% di probabilità che ottenga -x. Inoltre, è impossibile predire quale sarà il risultato fino a quando Bob non esegue la misura.

È bene sottolineare che, benché si sia usato lo spin come esempio, si possono considerare molte altre quantità fisiche (osservabili), tra loro entangled. L'articolo originale di EPR, per esempio, usava l'impulso come osservabile. Gli esperimenti odierni usano spesso la polarizzazione dei fotoni, perché più facile da preparare e quindi misurare.

[modifica] Realismo e completezza

Introdurremo ora due concetti usati da Einstein, Podolsky e Rosen fondamentali per il loro attacco alla meccanica quantistica: (i) il realismo o oggettivismo e (ii) la completezza di una teoria fisica.

Gli autori non si sono riferiti direttamente al significato filosofico di un elemento fisico di realtà. Piuttosto, essi assunsero che se il valore di ogni quantità fisica di un sistema può essere predetto con assoluta certezza prima di fare una misura o prima di intervenire in qualche modo sul sistema medesimo, allora tale quantità esprime un elemento fisico di realtà. Notare che l'opposto, cioè la negazione dell'affermazione precedente, non porta necessariamente ad un assunto vero; possono esserci altre espressioni di elementi fisici di realtà, ma questo fatto non ha influenza sul resto dell'argomentazione.

In aggiunta, EPR definiscono una teoria fisica completa come una teoria in cui ogni elemento fisico di realtà sia preso in considerazione. Lo scopo del loro articolo è mostrare, usando queste due definizioni, che la meccanica quantistica non è una teoria fisica completa.

Vediamo come questi concetti si applicano all'esperimento pensato di cui sopra. Supponiamo che Alice decida di misurare lo spin lungo z (lo chiameremo z-spin). Dopo che Alice esegue la misura, lo z-spin dell'elettrone di Bob è noto, quindi è un elemento fisico di realtà. Analogamente, se Alice decidesse di misurare lo spin lungo x, l'x-spin di Bob sarebbe un elemento fisico di realtà dopo la sua misura.

Uno stato quantistico non può possedere contemporaneamente un valore definito per lo x-spin e lo z-spin . Se la meccanica quantistica è una teoria fisica completa nel senso dato sopra, l'x-spin e lo z-spin non possono essere elementi fisici di realtà allo stesso tempo. Questo significa che la decisione di Alice di eseguire la misura lungo l'asse x o lungo l'asse z ha un effetto istantaneo sugli elementi fisici di realtà nel luogo in cui si trova Bob ad operare con le sue misure. Tuttavia, questa è una violazione del principio di località o principio di separazione.

[modifica] Località nel paradosso EPR

Il principio di località afferma che processi fisici che avvengono in un posto non possono avere effetto immediato su elementi fisici di realtà in un altro luogo, separato dal primo. A prima vista, questa appare un'assunzione ragionevole, infatti a livello macroscopico è ragionevole, in quanto è una conseguenza della relatività speciale, la quale afferma che le informazioni non si possono mai trasmettere a una velocità maggiore di quella della luce senza violare la causalità. Generalmente si crede che ogni teoria che violi la causalità sia anche internamente inconsistente, e quindi del tutto insoddisfacente.

Si trova che la meccanica quantistica viola il principio di località senza violare la causalità. La causalità è preservata perché non c'è alcun modo per Alice di trasmettere un messaggio (cioè informazioni) a Bob variando l'asse lungo cui fa la misura. Qualunque asse lei scelga, ha sempre il 50% di probabilità di ottenere "+" e il 50% di ottenere "-", del tutto a caso; secondo la meccanica quantistica, è del tutto impossibile per lei influire sul risultato che otterrà. Inoltre, Bob può fare la sua misura una sola volta, in quanto il collasso della funzione d'onda provocato dalla misura perturba in maniera irreversibile lo stato misurato: c'è una proprietà basilare della meccanica quantistica, nota come "no cloning theorem", che rende impossibile per l'osservatore fare, diciamo, un milione di copie dell'elettrone che riceve, eseguire misure sullo spin di ciascuno e poi analizzare la distribuzione statistica dei risultati. Quindi, nell'unica misura che gli è permesso fare, c'è il 50% di probabilità di ottenere "+" e il 50% di ottenere "-", indipendentemente dal fatto che il suo asse sia allineato o meno con quello di Alice.

Tuttavia, il principio di località si richiama fortemente all'intuizione fisica di livello macroscopico, e Einstein, Podolsky e Rosen non volevano abbandonarlo. Einstein derise le predizioni della meccanica quantistica come spaventosa azione a distanza. La conclusione che trassero fu che la meccanica quantistica non è una teoria completa.

Si deve far notare che la parola località ha diversi significati in fisica. Per esempio, in teoria quantistica dei campi "località" significa che campi in punti diversi dello spazio non interagiscono l'uno con l'altro. Tuttavia, le teorie di campo quantistiche che sono "locali" in questo senso violano il principio di località come definito da EPR.

[modifica] Risoluzione del paradosso

[modifica] Variabili nascoste

Esistono parecchi possibili modi per risolvere il paradosso EPR. Quello ipotizzato da EPR è che la meccanica quantistica, nonostante il successo in una ampia e vasta varietà di scenari sperimentali, sia in realtà una teoria incompleta. In altre parole, esiste qualche ancora non scoperta teoria della natura rispetto alla quale la meccanica quantistica gioca il ruolo di una specie di approssimazione statistica (benché sia baciata in fronte da un successo strepitoso). A dispetto della meccanica quantistica, questa teoria più completa contiene variabili che tengono conto di tutti gli "elementi fisici di realtà". Deve esistere qualche ignoto meccanismo che agisce su queste variabili che dà origine agli effetti osservati nelle "osservabili quantistiche non-commutanti", vale a dire il principio di indeterminazione di Heisenberg. Tale teoria si chiama teoria delle variabili nascoste.

Per illustrare questa idea, si può formulare una teoria delle variabili nascoste molto semplice per l'esperimento pensato di cui sopra. Si supponga che gli stati quantistici di spin di singoletto emessi dalla sorgente siano in realtà descrizioni approssimate dei "veri" stati fisici che possiedono valori definiti per lo z-spin e per l' x-spin. In questi stati "veri", l'elettrone che va verso Bob ha sempre valori di spin opposti rispetto all'elettrone che va verso Alice, ma tali valori sono completamente random (casuali). Per esempio, la prima coppia emessa dalla sorgente può essere "(+z, -x) verso Alice e (-z, +x) verso Bob", la coppia successiva "(-z, -x) verso Alice e (+z, +x) verso Bob" e così via. Per ciò, se l'asse della misura di Bob è allineato con quello di Alice, egli otterrà necessariamente l'opposto di qualunque cosa ottenga Alice; altrimenti egli otterrà "+" e "-" con eguale probabilità.

Ipotizzando di restringere le misure solo all'asse z e all'asse x, tale teoria delle variabili nascoste è sperimentalmente indistinguibile dalla teoria della meccanica quantistica. In realtà, ovviamente, c'è numero infinito (numerabile) di assi lungo i quali Alice e Bob possono eseguire le misure, di modo che si ha un numero infinito di variabili nascoste indipendenti! Tuttavia, questo fatto non ha conseguenze gravi; questa è una formulazione molto semplicistica di una teoria delle variabili nascoste e una teoria più sofisticata sarebbe in grado di metterci una pezza. Ne risulta che la sfida legata all'idea di variabili nascoste è molto più seria.

[modifica] Disuguaglianze di Bell

Nel 1964, John Bell ha mostrato come le predizioni della meccanica quantistica nell'esperimento pensato EPR siano in realtà leggermente differenti dalle predizioni di una classe molto vasta di teorie delle variabili nascoste. Grosso modo, la meccanica quantistica predice correlazioni statistiche molto più forti tra i risultati di misure eseguite su differenti assi di quanto non facciano le teorie delle variabili nascoste. Queste differenze, espresse adoperando relazioni di disuguaglianza note come "disuguaglianze di Bell", sono dal punto di vista di principio individuabili sperimentalmente. Per un deduzione dettagliata di questi risultati, vedere l'articolo sul teorema di Bell.

In seguito alla pubblicazione dell'articolo di Bell, cominciarono ad essere approntati tutta una serie di esperimenti per saggiare le disuguaglianze di Bell. (Come detto sopra, questi esperimenti in generale trattano con misure di polarizzazione di fotoni). Tutti gli esperimenti condotti finora hanno indicato un comportamento in linea con le predizioni della meccanica quantistica standard.

Tuttavia, questi fatti non chiudono il discorso in modo definitivo. Prima di tutto, il teorema di Bell non si applica a tutte le possibili teorie "realiste". È possibile costruire teorie che eludono le sue implicazioni, per cui diventano indistinguibili dalla meccanica quantistica, per quanto queste teorie siano eminentemente non-locali in una maniera più marcata — si reputa che violi sia la causalità sia i teoremi della relatività ristretta ai sistemi inerziali. Alcuni ricercatori del campo hanno anche tentato di formulare teorie di variabili nascoste che sfruttino scappatoie in esperimenti concreti, come per esempio le assunzioni fatte nell'interpretare i dati sperimentali. Comunque, nessuno è stato finora in grado di formulare una teoria realista locale capace di riprodurre tutti i risultati della meccanica quantistica.

[modifica] Implicazioni per la meccanica quantistica

Attualmente la maggior parte dei fisici ritiene che la meccanica quantistica sia corretta e che il paradosso EPR sia appunto solo un "paradosso" per il fatto che le intuizioni classiche (di livello macroscopico) non corrispondano alla realtà. Si possono trarre da ciò parecchie diverse conclusioni, che dipendono da quale interpretazione della meccanica quantistica si usi. Nella vecchia interpretazione di Copenhagen, prodotta da Niels Bohr, Werner Karl Heisenberg, Pascual Jordan e Max Born, si conclude che il principio di località (o di separazione) non debba valere e che avvenga effettivamente il collasso della funzione d'onda istantaneo. Nell'interpretazione a molti-Universi, di Hugh Everett III, la località è mantenuta e gli effetti delle misure sorgono dal suddividersi e ramificarsi delle "storie" o linee d'Universo degli osservatori.

Il paradosso EPR ha reso più profonda la comprensione della meccanica quantistica mettendo in evidenza le caratteristiche fondamentalmente non classiche del processo di misura. Prima della pubblicazione dell'articolo di Einstein-Podolsky-Rosen, una misura era abitualmente vista come un processo fisico di perturbazione inflitto direttamente al sistema sotto misura. Per esempio, se si fosse misurata la posizione di un elettrone, immaginiamoci illuminandolo con luce, cioè con un fiotto di fotoni, l'urto dei fotoni con l'elettrone, necessario per illuminarlo e "vedere" dov'è, avrebbe così disturbato lo stato quantomeccanico dell'elettrone, per esempio, modificandone la velocità, producendo così incertezza sulla velocità, esemplificando così l'indeterminazione quantomeccanica su posizione e velocità, grandezze meccaniche necessarie a determinare l'evoluzione dello stato meccanico, grandezze coniugate. Tali spiegazioni, che ancora si incontrano in esposizioni non specialistiche, scolastiche e divulgative della meccanica quantistica, sono completamente demistificate dall'analisi di Einstein-Podolsky-Rosen, che mostra chiaramente come possa effettuarsi una "misura" su una particella senza disturbarla direttamente, eseguendo una misura su un'altra particella distante, ma entangled (intrecciata) con la prima.

Sono state sviluppate e stanno progredendo tecnologie che si basano sull'entanglement quantistico (intreccio di stati quantistici). Nella crittografia quantistica, si usano particelle entangled per trasmettere segnali che non possono essere intercettati senza lasciare traccia dell'intercettazione avvenuta. Nella computazione quantistica, si usano stati quantistici intrecciati (entangled) per eseguire calcoli in parallelo, che permettono elaborazioni con velocità che non si possono raggiungere con i computer classici.

[modifica] Teorema del multiverso

Esiste una spiegazione che riguarda gli universi multipli molto più complicata, per quanto abbastanza verosimile. Essa stabilisce che ogni volta che qualcosa è incerto, l'"Albero dell'Universo" (come talvolta è chiamato il fenomeno di tutte le ramificazioni possibili di eventi) produce un altro ramo ovvero si ramifica. Ciascuna ramificazione, appena prodotta, è un diverso universo simile al precedente, perché l'incertezza generalmente è piccola, all'inizio. Ogni possibilità è un accadimento che capita da qualche parte. È sufficiente questa visualizzazione intuitiva per adesso, a causa della grande astrattezza di questi concetti. La teoria è molto più ampia, ma non verrà affrontata in questo punto con maggior dettaglio.

[modifica] Formulazione matematica

Si può esprimere matematicamente la discussione di cui sopra adoperando il formalismo quantomeccanico di spin. Il grado di libertà di spin di un elettrone è associabile con uno spazio di Hilbert bidimensionale H, in cui ogni vettore dello spazio corrisponde ad uno stato quantico di spin. Gli operatori quantistici che corrispondono allo spin lungo le direzioni x, y e z, designati rispettivamente S_x, S_y e S_z, possono essere associati a loro volta alle matrici di Pauli:

$S_x = \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix}, \quad S_y = \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix} 0&-i\\i&0\end{bmatrix}, \quad S_z = \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix} 1&0\\0&-1\end{bmatrix}$

dove $\hbar$ rappresenta la costante d'azione di Planck divisa per 2π.

Gli autostati di S_z sono espressi da

$\left|+z\right\rang \leftrightarrow \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \quad \left|-z\right\rang \leftrightarrow \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$

mentre gli autostati di S_x sono espressi da

$\left|+x\right\rang \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \quad \left|-x\right\rang \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$

Lo spazio di Hilbert per una coppia di elettroni è $H \otimes H$ , cioè il prodotto tensoriale degli spazi di Hilbert dei due singoli elettroni. Lo stato di spin di singoletto è

$\left|\psi\right\rang = \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg(\left|+z\right\rang \otimes \left|-z\right\rang - \left|-z\right\rang \otimes \left|+z\right\rang \bigg)$

dove i due termini nel membro a destra stanno per ciò che più sopra è stato chiamato stato I e stato II. A partire da queste equazioni, si può mostrare che lo spin di singoletto è scrivibile come

$\left|\psi\right\rang = \frac{-1}{\sqrt{2}} \bigg(\left|+x\right\rang \otimes \left|-x\right\rang - \left|-x\right\rang \otimes \left|+x\right\rang \bigg)$

dove i termini del membro a destra sono quello che è stato chiamato stato Ia e stato IIa.

Per illustrare come questo comporti la violazione del realismo locale, è necessario mostrare che dopo la misura effettuata da Alice di S_z (o di S_x), il valore misurato da Bob di S_z (o di S_x) è determinato univocamente e per questo corrisponde ad un "elemento fisico di realtà". Questo fatto discende dalla teoria della misura adottata in meccanica quantistica. Quando viene effettuata la misura S_z, lo stato ψ del sistema collassa dentro un autovettore di S_z. Se il risultato della misura è +z, ciò significa che immediatamente subito dopo la misurazione lo stato ψ del sistema viene sottoposto ad una proiezione ortogonale nello spazio degli stati della forma

$\left| +z \right\rangle \otimes \left| \phi\right\rangle \quad \phi \in H$

Per il singoletto di spin, il nuovo stato è

$\left| +z \right\rangle \otimes \left| -z \right\rangle.$

Analogamente, se la misura di Alice dà -z, il sistema viene sottoposto ad una proiezione ortogonale su

$\left| -z \right\rangle \otimes \left| \phi\right\rangle \quad \phi \in H$

che significa che il nuovo stato è

$\left|-z\right\rangle \otimes \left|+z\right\rangle$

Questo implica che ora la misura di S_z dell'elettrone di Bob è determinata. Sarà -z nel primo caso e +z nel secondo caso.

Resta solo da mostrare che S_x e S_z non possono possedere contemporaneamente, per la meccanica quantistica, valori definiti. Si potrebbe mostrare in maniera diretta che non esiste nessun vettore che possa essere un autovettore di entrambe le matrici. Più in generale, si può usare il fatto che gli operatori non commutano,

$\left[ S_x, S_z\right] = - i\hbar S_y \ne 0$

secondo la relazione di incertezza di Heisenberg

$\lang (\Delta S_x)^2 \rang \lang (\Delta S_z)^2 \rang \ge \frac{1}{4} \left|\lang \left[ S_x, S_z\right] \rang \right|^2$

[modifica] Voci correlate

Esperimenti sulle disuguaglianze di Bell
Stato di Bell
Teorema di Bell
CHSH Bell test
Local hidden variable theory
Teletrasporto quantistico
Sincronismo

[modifica] Bibliografia

[modifica] Articoli selezionati

A. Aspect, Bell's inequality test: more ideal than ever, Nature 398 189 (1999). [1]
J.S. Bell On the Einstein-Poldolsky-Rosen paradox, Physics 1 195 (1964).
J.S. Bell, Bertlmann's Socks and the Nature of Reality. Journal de Physique 42 (1981).
P.H. Eberhard, Bell's theorem without hidden variables. Nuovo Cimento 38B1 75 (1977).
P.H. Eberhard, Bell's theorem and the different concepts of locality. Nuovo Cimento 46B 392 (1978).
A. Einstein, B. Podolsky, and N. Rosen, Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? Phys. Rev. 47 777 (1935). [2]
A. Fine, Hidden Variables, Joint Probability, and the Bell Inequalities. Phys. Rev. Lett 48, 291 (1982).
A. Fine, Do Correlations need to be explained?, in Philosophical Consequences of Quantum Theory: Reflections on Bell's Theorem, edited by Cushing & McMullin (University of Notre Dame Press, 1986).
L. Hardy, Nonlocality for 2 particles without inequalities for almost all entangled states. Phys. Rev. Lett. 71 1665 (1993).
M. Mizuki, A classical interpretation of Bell's inequality. Annales de la Fondation Louis de Broglie 26 683 (2001).

[modifica] Libri

J.S. Bell, Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics (Cambridge University Press, 1987). ISBN 0521368693
J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics (Addison-Wesley, 1994), pp. 174-187, 223-232. ISBN 0201539292
F. Selleri, Quantum Mechanics Versus Local Realism: The Einstein-Podolsky-Rosen Paradox (Plenum Press, New York, 1988)

[modifica] Collegamenti esterni

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Categorie: Paradossi | Meccanica quantistica

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