Numero piramidale quadrato

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Rappresentazione geometrica del numero piramidale 30=1+4+9+16.

Un numero piramidale quadrato è un numero figurato che rappresenta una piramide a base quadrata. L'n-esimo numero di questo tipo può essere espresso in formula come

$\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}=\frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}$

ovvero sommando i quadrati dei primi n numeri.

Questo è un caso speciale della formula di Faulhaber.

I primi numeri piramidali quadrati sono

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819 (Sequenza OEIS:A000330 dell'OEIS).

Questi numeri possono essere costruiti nello spazio fisico attraverso una piramide di sfere la cui base ha lato n. Risolvono anche il problema di contare il numero di quadrati in una griglia n×n.

[modifica] Relazioni con gli altri numeri figurati

I numeri piramidali possono anche essere espressi come somme di coefficienti binomiali:

$\binom{n+2}{3}+\binom{n+1}{3}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}+\frac{(n-1)n(n+1)}{6}=\frac{n(n+1)(n-1+n+2)}{6}$

Inoltre l'n-esimo numero piramidale è un quarto del 2n-esimo numero tetraedrico:

$\frac{n(n+1)(2n + 1)}{6}=\frac{2n(2n+2)(2n+1)}{4\cdot 6}=\frac{1}{4}T_{2n}$

La somma di due numeri numeri piramidali quadrati è un numero ottaedrico.

Oltre a 1, l'unico altro numero che è contemporaneamente un quadrato e un numero piramidale quadrato è 4900, il 79° numero quadrato e il 24° numero piramidale. Questo è stato dimostrato da George Neville Watson nel 1918.

Gli unici numeri che sono contemporaneamente piramidali quadrati e triangolari sono 1, 55, 91 e 208.335.

1 è anche il solo numero che sia contemporaneamente piramidale quadrato e tetraedrico.

[modifica] Quadrati in un quadrato

Un comune rompicapo matematico consiste nel trovare il numero di quadrati in una griglia n×n. Si può osservare che:

il numero di quadrati 1x1 è $n 2$ ;
il numero di quadrati 2x2 è $(n - 1) 2$ : questo numero può essere trovato considerando che ogni incrocio, eccetto quelli della riga più in basso e della colonna più a destra, è l'angolo in alto a sinistra di un quadrato contenuto nella griglia;
allo stesso modo, il numero di quadrati k×k è $(n - k + 1) 2$