Modello di Sommerfeld

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In fisica dello stato solido il modello dell'elettrone libero è un semplice modello che descrive il comportamento degli elettroni di valenza nella struttura cristallina di un metallo. Tale modello è stato sviluppato da Arnold Sommerfeld che ha unito il modello di Drude (un modello che considera gli elettroni come un gas ideale che obbedisce alla opportuna statistica della meccanica quantistica) alla statistica di Fermi-Dirac.

Il modello è molto semplice, ma riesce a dare una soddisfacente spiegazione della:

conduttività elettrica;
legge di Wiedemann-Franz che mette in relazione la conducibilità termica alla conduttività elettrica;
dipendenza dalla temperatura del calore specifico elettronico;
dipendenza approssimativa dall'energia della densità degli stati;
dell'energia di coesione dei metalli.

[modifica] Ipotesi

Gli elettroni di valenza sono considerati completamente liberi e costituisco a tutti gli effetti un gas ideale di elettroni. Come nel caso di un gas ideale la interazione elettrone elettrone è completamente trascurata.

La struttura cristallina non è tenuta in considerazione. L'unico limite del modello è dato dalla scatola cubica di lato $L\$ in cui sono contenuti gli elettroni.

La statistica a cui obbedisce tale gas quantistico è la statistica di Fermi-Dirac.

[modifica] Modello stazionario

Consideriamo una scatola cubica di lato $L\$ dentro cui sono contenute $N\$ elettroni non interagenti. Si può dimostrare che la forma della scatola modifica i risultati finali in maniera irrilevante. Immaginiamo che il potenziale sia infinito all'esterno della scatola, di conseguenza la funzione d'onda deve essere nulla all'esterno della scatola stessa. Se scegliamo l'origine delle coordinate coincidente con un vertice del cubo e gli assi cartesiani orientati come i suoi spigoli, la funzione d'onda soddisferà per ragioni di continuità le equazioni:

$\psi(0,y,z)=\psi(L,y,z)=0\$

$\psi(x,0,z)=\psi(x,L,z)=0\$

$\psi(x,y,0)=\psi(x,y,L)=0\$

La soluzione del problema sono la combinazione lineare di onde piane viaggianti in direzioni opposte:

$\psi (x,y,z)=A\left[ e^{i\vec k\cdot \vec r} -e^{-i\vec k\cdot \vec r}\right]\$

Tale equazione può essere riscritta come:

$\psi (x,y,z)=2iA\sin (k_xx)\sin (k_yy)\sin (k_yy) \$

La necessità che vengano soddisfatte le condizioni al contorno richiede che le componenti di $\vec k\$ devono assumere solo dei valori discreti:

Otto soluzioni nello spazio k di una scatola cubica a 3 dimensioni di lato L

$k_x=n_x\frac {\pi}L\$

$k_y=n_y\frac {\pi}L\$

$k_z=n_z\frac {\pi}L\$

Dove $n_x\$ , $n_y\$ ed $n_z\$ devono essere numeri positivi ed interi. Non sono soluzioni possibili nemmeno quelle soluzioni per cui uno solo degli $n_i\$ è nullo: verrebbe infatti violato il principio di indeterminazione in quella direzione.

Se noi disegniamo, nello spazio $k\$ , l'insieme dei punti che sono soluzioni del problema di $N\$ particelle nella scatola cubica di lato $L\$ , otteniamo un reticolo cubico semplice di punti in un solo ottante di tale spazio.

Allo zero assoluto mi aspetto che siano occupati solo gli stati con minore energia rispettando il principio di esclusione di Pauli. Il numero di elettroni nei solidi macroscopici è molto elevato per cui se andiamo a disporre i nostri $N\$ elettroni negli stati possibili riempiendo prima gli stati con $|\vec k|\$ basso (bassa energia) e poi via via quelli con $|\vec k|\$ più elevato (grande energia). Dato che il numero $N\ \$ è molto elevato si può trascurare la discretizzazione degli stati. Nello spazio $k\$ gli stati possibili occupano i punti di un reticolo cubico semplice. La distanza tra punti adiacenti di tale reticolo vale ovviamente: $a = π / L$ . Nei reticoli cubici semplici di parametro reticolare $a\$ , la densità dei punti reticolari vale ovviamente $n=a^{-3}\$ . Abbiamo che la densità dei punti nello spazio $k\$ vale:

$n(\vec k)=\left( \frac {L}{\pi } \right)^3=\frac V{\pi^3}\$

dove $V=L^3\$ è il volume del cubo. Abbiamo calcolato tale densità di punti, ma ogni stato può essere occupato da due soli elettroni a causa del principio di esclusioni di Pauli, avendo gli elettroni un ulteriore grado di libertà interno dovuto allo spin semintero. Quindi per ogni stato permesso alla funzione d'onda di un elettrone, ci sono due stati elettronici, che corrispondono alle due possibili direzioni verso cui può puntare il momento della quantità di moto di un elettrone.

Quindi la densità $g(\vec k)\$ di stati elettronici nello spazio $k\$ vale:

$g(\vec k)=2n(\vec k)=2\frac V{(\pi )^3}\$

Il significato fisico di $g(\vec k)\$ (estendendo la sua definizione dallo spazio discreto a quello continuo) è che vi sono nel volume $d^3k\$ dello spazio $k\$ un numero $dn=g(\vec k)d^3k\$ elettroni.

Possiamo determinare il raggio $k_F\$ dell'ottavo di sfera contenente gli $N\$ elettroni del metallo:

$N=g(\vec k)\frac 18 \frac 43 \pi k_F^3=\frac {V k_F^3}{3\pi^2}\$

Si noto come si fa un errore, trascurabile, dovuto all'inclusione dei punti sui tre piani cartesiani. Dalla equazione si ricava che:

$k_F=(3\pi^2 n)^{\frac 13}\$

Il raggio del settore sferico $k_F\$ viene detto vettore d'onda di Fermi. Al contrario del caso classico quindi gli elettroni in un metallo anche a temperatura bassissima hanno un vasto range di valori di vettori d'onda e di conseguenza di energie cinetiche fino ad un certo valore massimo dipendente soltanto dalla densità degli elettroni.

[modifica] Condizione al contorno periodica

La condizione data sulla funzione d'onda, che imponeva il suo annullarsi sulla superficie del cubo, è nella pratica poco soddisfacente, infatti porta come conseguenza che le soluzioni del problema siano onde stazionarie. Nei solidi macroscopici l'interazione degli elettroni con gli estremi del solido è spesso trascurabile nei fenomeni di trasporto di energia e carica: soluzioni quindi propagantesi descrivono meglio i fenomeni fisici di interesse, tranne che per i $\vec k\$ al limite della I zona di Brillouin, ma nel modello la periodicità del reticolo è trascurata. Le proprietà generali di un solido macroscopico ( è possibile dimostrarlo in maniera rigorosa^[1] ) non dipendono dalle condizioni al contorno.

Condizione al contorno periodica

Una scelta più soddisfacente delle condizioni al contorno è quella di una condizione al contorno periodica. Cioè si immagina che ogni faccia del cubo sia unita alla superficie opposta, in maniera tale che ogni elettrone che arrivi su una superficie non sia riflesso dalla superficie stessa, ma lascia il metallo entrando di nuovo dalla faccia opposta. Una condizione di tale tipo impone che la densità degli elettroni non vari lungo il solido. In tali termini la condizione sulla funzione d'onda è del tipo:

$\psi(x,y,z,t)=\psi(x+L,y,z,t)\$

$\psi(x,y,z,t)=\psi(x,y+L,z,t)\$

$\psi(x,y,z,t)=\psi(x,y,z+L,t)\$

Le soluzioni del problema sono in tale caso semplicemente delle onde piane:

$\psi (x,y,z,t)=A e^{i(\vec k\cdot \vec r-\omega t)}\$

La necessità che vengano soddisfatte le condizioni al contorno richiede che le componenti di $\vec k\$ possono assumere solo dei valori discreti:

$k_x=n_x\frac {2\pi}L\$

$k_y=n_y\frac {2\pi}L\$

$k_z=n_z\frac {2\pi}L\$

Dove $n_x\$ , $n_y\$ ed $n_z\$ devono essere numeri interi positivi o negativi, ma non tutti nulli. Nello spazio k tali punti costituiscono un reticolo cubico. La distanza tra i punti del reticolo cubico semplice degli stati permessi, è due volte più grande rispetto alla precedente condizione al contorno. Quindi nello spazio $k\$ l'insieme dei punti che sono soluzioni del problema di $N\$ particelle nella scatola periodica di lato $L\$ è un reticolo cubico semplice di punti di tale spazio, ma disposti simmetricamente intorno agli assi delle coordinate. Ma la distanza tra i punti del reticolo nello spazio $k\$ normalmente provoca nessun effetto misurabile nei solidi macroscopici.

Tale condizioni portano alle stessa soluzione per quanto riguarda $k_F\$ . Infatti ripetendo i ragionamenti nel caso $T=0\$ .

$g(\vec k)=2n(\vec k)=2\frac V{(2\pi )^3}\$

Gli $N\$ elettroni andranno quindi a riempire una sfera di raggio $k_F\$ (non più un ottavo di sfera):

$N=g(\vec k) \frac 43 \pi k_F^3=\frac {Vk_F^3}{3\pi ^2}\$

che è la stessa equazione di quella derivata precedentemente. Quindi il vettore d'onda di Fermi è identico con tale condizione al contorno. La regione nello spazio $k\$ permessa agli stati di un elettrone è una sfera.

[modifica] Energia di Fermi

Poiché gli elettroni sono liberi la relazione di dispersione tra $E\$ e $k\$ vale:

$E=\frac {\hbar^2 k^2}{2m}\$

quindi al valore massimo $k_F\$ per $T=0\$ corrisponde una energia massima, detta energia di Fermi :

$E_F=\frac {\hbar^2 k_F^2}{2m}=\frac {\hbar^2}{2m} (3\pi^2 n)^{\frac 23}\$

o se si vuole una velocità quadratica massima $v_F=\sqrt {2E_F/m}\$

$v_F=\frac {\hbar}m (3\pi^2 n)^{\frac 13}\$

Si definisce temperatura di Fermi:

$T_F=\frac {E_F}{k_B}\$

La velocità di Fermi ha un valore simile per tutti i metalli ed è circa $1/100\$ della velocità della luce. Se si vuole l'esistenza di questa velocità spiega la ragione per cui i segnali elettrici nei metalli si propagano con la stessa velocità, circa la velocità di Fermi, indipendentemente dalla temperatura. La velocità di Fermi gioca nella teoria dei metalli un ruolo analogo alla velocità quadratica media termica $v=\sqrt {3k_BT/m}\$ di un gas classico.

Il modulo del vettore d'onda di Fermi ha un valore paragonabile a quello della prima zona di Brillouin. La sfera di raggio $k_F\$ , contenente i livelli occupati una volta sola è detta sfera di Fermi. La superficie della sfera di Fermi che separa gli stati occupati da quelli non occupati si chiama superficie di Fermi.