Forza di gravità

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La gravità è una delle quattro interazioni fondamentali che regolano l'intero universo. In meccanica classica la gravità risulta essere una forza conservativa che si manifesta fra corpi dotati di massa,^[1] e perciò dotata di un'energia potenziale gravitazionale; nella teoria della relatività generale la forza di gravità è invece legata alla geometria (non euclidea) dello spazio-tempo.

Indice

1 La legge di gravitazione universale
- 1.1 Forma scalare
- 1.2 Forma vettoriale
2 Energia potenziale
3 Campo gravitazionale e accelerazione di gravità
4 Campo gravitazionale in vicinanza della superficie terrestre
5 Confronto con la forza elettrica
6 La gravità nella teoria della relatività generale
7 Gravità e fisica delle particelle
8 Storia
9 Note
10 Voci correlate

[modifica] La legge di gravitazione universale

[modifica] Forma scalare

Nel libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica del 1687, Isaac Newton enunciò la legge di gravitazione universale:

"Qualsiasi oggetto dell'Universo attrae ogni altro oggetto con una forza diretta lungo la linea che congiunge i baricentri dei due oggetti, di intensità direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza".

Ciò equivale alla seguente formulazione algebrica:

$F = G \; \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}$

dove :

F = modulo della forza gravitazionale intercorrente tra i corpi;
G = costante di gravitazione universale;
m₁ = massa del primo corpo;
m₂ = massa del secondo corpo;
r = modulo della distanza tra i due corpi;

Questa legge è perfettamente calzante qualora si assumano i corpi puntiformi, ovvero aventi tutta la massa concentrata in un unico punto. Se il corpo ha un'estensione spaziale, la relazione si esprime ricorrendo al calcolo integrale. Se il corpo ha simmetria sferica, il risultato dell'integrazione fornisce la stessa espressione del caso puntiforme, a causa del teorema di Gauss.

[modifica] Forma vettoriale

Illustrazione dell'effetto fionda gravitazionale: l'oggetto più piccolo esce dall'incontro con una velocità superiore a quella che aveva inizialmente, a spese dell'oggetto più grande.

È possibile esprimere la forza gravitazionale mediante una forma vettoriale, introducendo un vettore direzione opportuno. La forma vettoriale è la seguente:

$\vec{F}_{2\,1} = G \; \frac{ m_1 m_2\ (\vec{r}_2 - \vec{r}_1)}{\left| \vec{r}_2 - \vec{r}_1 \right|^3}$

dove:

$\vec{F}_{2\,1}$ è la forza con cui l'oggetto 1 è attratto dall'oggetto 2

(la forza con cui l'oggetto 2 è attratto dall'oggetto 1 è uguale e contraria: $\vec{F}_{12} = -\vec{F}_{21}$ )

G è la costante universale di gravitazione;
m₁ e m₂ sono le masse dei due corpi;
$\vec{r}_1$ e $\vec{r}_2$ sono i vettori posizione delle masse e la differenza $(\vec{r}_2 - \vec{r}_1)$ rappresenta un vettore diretto dalla massa 1 alla massa 2;

La formulazione vettoriale della forza di gravità esprime, oltre all'intensità della forza, anche la sua direzione ed il suo verso.

[modifica] Energia potenziale

Per approfondire, vedi la voce energia potenziale gravitazionale.

Essendo il campo gravitazionale conservativo, esso ammette un'energia potenziale, ottenuta integrando la forza lungo un qualsiasi cammino congiungente due punti a distanze diverse dalla massa m₁ che genera il corpo. L'espressione del potenziale gravitazionale è:

$U(r)=-\frac{Gm_1m_2}{\left|\vec r_2-\vec r_1\right|}$

[modifica] Campo gravitazionale e accelerazione di gravità

Considerando la forza di mutua attrazione gravitazionale:

$F_g = G \; \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2} \cdot \hat{r}$

Dove $\hat{r}$ è il versore della forza diretto lungo la retta congiungente il baricentro dei corpi.

Concentrandosi sulla prima delle due masse è possibile normalizzare la forza per unità di massa, andando a dividere ambo i membri per m₂.

$a_g=\frac{F_g}{m_2} = G \frac{m_1}{r^2} \cdot \hat{r}$

L'equazione appena scritta definisce il campo dell'accelerazione di gravità $a g$ generato dalla massa m₁ nello spazio circostante. $a g$ è, dunque, un campo che esiste a prescindere dalla massa che ne subirà l'attrazione.

Supponiamo ora che un corpo di massa (gravitazionale) m₂ rientri nel campo gravitazionale di m₁; essa verrà attratta con una forza data da:

$F_g = m_2 \cdot a_g$

Se m₂ non subisce nessun'altra forza, possiamo scrivere, per il secondo principio della dinamica:

$m_2 \cdot a_g= m_{2}^{in} \cdot a$

dove $m_{2}^{in}$ è la massa inerziale del corpo in questione.

Si evincono a questo punto due cose essenziali:

Sperimentalmente si ottiene il seguente risultato: "Sulla Terra, tutti i corpi lasciati liberi di cadere in assenza di attrito cadono verso la Terra con la stessa accelerazione". Questo implica l'ugualianza delle masse gravitazionali con quelle inerziali. Per maggiori dettagli si veda la voce: Massa (fisica).
$a g$ è una accelerazione uguale per tutti i corpi presenti all'interno del campo gravitazione e dipendente dalla distanza che li separa: in particolare è indipendente dalla massa dei corpi sottoposti alla forza. Nei pressi della superficie terrestre il suo valore medio è stimato in 9,80665 m/s². Per maggiori dettagli vedi la voce accelerazione di gravità.

[modifica] Campo gravitazionale in vicinanza della superficie terrestre

Nel precedente paragrafo si è detto che il valore medio dell'accelerazione di gravità nei pressi della superficie terrestre è stimato in 9,80665 m/s². Per molte applicazioni fisiche e ingegneristiche è utile utilizzare una versione approssimata della forza di gravità, ottenuta dallo sviluppo di Taylor di ordine 0 della forza nel caso generale:

$\vec F=mg\hat{z}$

dove $\hat{z}$ è un versore diretto lungo la verticale.^[2] In sostanza la forza di gravità è approssimata con una forza di modulo costante, indipendente dalla quota del corpo, e come direzione il basso, nel senso comune del termine. Naturalmente anche in questa approssimazione corpi con masse diverse hanno la stessa accelerazione di gravità.

L'energia potenziale gravitazionale U_g è data da:

$U_g=mgh\,$

dove h è la quota del corpo rispetto ad un riferimento fisso.

Una palla inizialmente ferma in caduta. La sua quota varia con il quadrato del tempo.

In questo caso approssimato è molto semplice ricavare le leggi del moto, mediante integrazioni successive: per un corpo in caduta libera, chiamando z l'asse verticale (sempre diretto verso il basso) e proiettando il moto su di esso, valgono le seguenti leggi:

$a(t)=\frac{F(t)}{m}=g\,\!$

$v(t)=v_0+gt\,\!$

$z(t)=z_0+v_0t+\frac{1}{2}gt^2$

Inoltre, dalla conservazione dell'energia meccanica si ottiene un risultato notevole per corpi in caduta libera inizialmente fermi. Scriviamo l'energia meccanica del sistema ad un tempo generico:

$E=K+U=\frac{1}{2}mv^2+mgz$

dove v è la velocità del corpo e z la sua quota. Supponiamo ora che all'istante iniziale $t = 0$ il corpo si trovi ad una quota $z = h$ e all'istante finale $t = \tilde{t}$ abbia una velocità $v=\tilde{v}$ e si trovi a quota $z = 0$ ; scriviamo quindi l'energia del sistema ai due istanti:

$E(0)=mgh\,\!$

$E(\tilde{t})=\frac{1}{2}m\tilde{v}^2\,\!$

Dato che l'energia meccanica si conserva possiamo uguagliare le due ultime equazioni e ricavarci il modulo della velocità dopo una caduta di una quota h:

$\qquad \tilde{v}=\sqrt{2gh}\,\!$

[modifica] Confronto con la forza elettrica

L'attrazione gravitazionale tra protoni (rispettivamente elettroni) è approssimativamente 10³⁶ volte più debole della repulsione (rispettivamente attrazione) coulombiana.

Nel caso di presenza di interazione di natura elettrica, sono quindi del tutto trascurabili gli effetti della forza gravitazionale nello studio del fenomeno. La forza di gravità risulta quindi essere la principale forza agente tra corpi macroscopici dal momento che questi sono in genere elettricamente neutri.

[modifica] La gravità nella teoria della relatività generale

La teoria di Newton della gravitazione permette di descrivere con accuratezza tutti i fenomeni gravitazionali nel Sistema Solare ed in molte situazioni astronomiche. Tuttavia, da un punto di vista concettuale essa presenta alcuni punti deboli, successivamente affrontati nella teoria della Relatività Generale:

La teoria di Newton presuppone che la forza gravitazionale sia trasmessa istantaneamente con un meccanismo fisico non ben definito ed indicato con il termine "azione a distanza". Lo stesso Newton tuttavia riteneva tale azione a distanza una spiegazione insoddisfacente sul modo in cui la gravità agisse.
Il modello di Newton di spazio e di tempo assoluti è stato contraddetto dalla teoria di Einstein della relatività speciale. Tale teoria è stata sviluppata con successo sulla base del presupposto che esiste una certa velocità a cui i segnali possono essere trasmessi corrispondente alla velocità della luce nel vuoto.
La teoria non prevede correttamente la precessione del perielio dell'orbita del pianeta Mercurio, dando un risultato in disaccordo con le osservazioni di alcune decine di secondi d'arco al secolo.
La teoria predice che la luce è deviata per gravità, ma questa deviazione è metà di quanto osservato sperimentalmente.
Il concetto per cui masse gravitazionali ed inerziali sono la stessa cosa (o almeno proporzionali) per tutti i corpi non è spiegato all'interno del sistema di Newton.

Einstein sviluppò una nuova teoria, denominata relatività generale, che include una teoria della gravitazione, pubblicata nel 1915.

[modifica] Gravità e fisica delle particelle

L'attuale modello teorico standard della fisica delle particelle prevede solo particelle di massa nulla ma introduce un termine di massa grazie ad una particella elementare detta Bosone di Higgs. L'esistenza del Bosone di Higgs risulta tutt'oggi sperimentalmente non verificata.

[modifica] Storia

Platone ed Aristotele pensavano che solo alcuni corpi, che chiamavano pesanti, fossero soggetti alla gravità. Tra i corpi pesanti non erano inclusi stelle, pianeti, Sole e Luna, il cui movimento "naturale" era ritenuto quello circolare.Aristotele pensava inoltre che oggetti di peso diverso cadessero a velocità diverse. Questa opinione fu contraddetta, nel VI secolo d.C., da Giovanni Filopono, che aveva affermato che facendo cadere corpi di masse differenti nello stesso momento si poteva verificare che arrivavano al suolo contemporaneamente. L'antica idea di Filopono fu ripresa all'inizio dell'età moderna da Galileo Galilei.

Keplero stabilì che le orbite dei pianeti sono ellittiche, ma pensava tuttavia che il movimento dei pianeti fosse dettato da qualche "forza divina" emanata dal Sole. Newton realizzò che la stessa forza che causa la caduta di una pietra sulla Terra mantiene i pianeti in orbita attorno al Sole, e la Luna attorno alla Terra.

[modifica] Note

^ Dove nella voce si è usato il termine massa senza altri aggettivi, esso sta a indicare la massa gravitazionale, che "genera" il campo gravitazionale, e non la massa inerziale, che rappresenta la costante di proprzionalità tra forza e accelerazione di un corpo. I due concetti sono ben diversi e la loro sostanziale equivalenza non è un fatto scontato. Si veda qui per i dettagli.
^ Un vettore è, per definizione, verticale quando è diretto come l'accelerazione di gravità.

[modifica] Voci correlate

Teoria della Relatività
Equazioni di Maxwell \| Gravità \| Invariante di Lorentz \| Principio di località \| Quadrivettore \| Relatività generale \| Relatività ristretta \| Spaziotempo \| Spazio-tempo di Minkowski \| Trasformazioni galileiane \| Trasformazione di Lorentz \| Composizione delle velocità
Fisica
Glossario Fisico \| Calendario degli eventi
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Categoria: Gravitazione

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