Spazio-tempo di Minkowski
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| « Le concezioni di spazio e di tempo che desidero esporvi sono sorte dal terreno della fisica sperimentale, e in ciò sta la loro forza. Esse sono fondamentali. D'ora in poi lo spazio di per se stesso o il tempo di per se stesso sono condannati a svanire in pure ombre, e solo una specie di unione tra i due concetti conserverà una realtà indipendente. » | |
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(Hermann Minkowski, 1908)
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Lo spazio-tempo di Minkowski (M4 o semplicemente M) è un oggetto matematico utile a modellizzare lo spaziotempo della relatività ristretta. Prende il nome dal suo creatore, il matematico tedesco Hermann Minkowski.
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[modifica] Cenni storici
Fino all'epoca pre-einsteniana lo spazio tridimensionale era tenuto ben distinto dal tempo ed entrambi erano considerati assoluti. I lavori di Jules-Henri Poincaré, Lorentz e, soprattutto, la relatività speciale (1905) di Albert Einstein mostrarono invece un legame indissolubile fra spazio e tempo, ed entrambi i concetti persero il loro carattere assoluto.
Prima di Einstein, l'universo poteva essere rappresentato da uno spazio euclideo tridimensionale R3, cioè a 3 dimensioni, e la variabile temporale considerata indipendentemente da tale spazio. L'avvento della relatività speciale portò invece alla necessità di creare una struttura matematica diversa e quadridimensionale, che tenesse conto delle relazioni fra spazio e tempo: questa struttura matematica, denotata con M4 o R1,3, fu introdotta nel 1907 da Hermann Minkowski.
Lo spazio-tempo di Minkowski fornisce un semplice modello "locale" per la relatività ristretta. Non è però utilizzabile per descrivere l'universo nel suo complesso: la relatività generale (1917), incorporando la forza di gravità, descrive infatti l'intero spazio-tempo come uno spazio "curvo" (cioè una varietà), di cui lo spazio-tempo di Minkowski è soltanto la versione "locale" o "piatta".
[modifica] Approccio fisico
Come in ogni modello di spazio-tempo, ogni punto dello spazio ha quattro coordinate (x,y,z,t), tre delle quali rappresentano un punto dello spazio, e la quarta un preciso momento temporale: intuitivamente, ciascun punto rappresenta quindi un evento, un fatto accaduto in un preciso luogo in un preciso istante. Il movimento di un oggetto puntiforme è quindi descritto da una curva, con coordinata temporale crescente.
[modifica] Trasformazioni di Lorentz
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Per approfondire, vedi la voce trasformazione di Lorentz. |
Nello spazio-tempo galileiano, la distanza fra due oggetti nello spazio e fra due eventi nel tempo è una quantità assoluta, che non dipende dal sistema di riferimento inerziale in cui è posto l'osservatore. Nella relatività ristretta, entrambe queste quantità diventano invece relative. I cambiamenti di coordinate fra sistemi di riferimento sono infatti più complicati, descritti dalle trasformazioni di Lorentz. Vi è comunque una "distanza" che non dipende dal riferimento (cioè che non viene modificata da una trasformazione di Lorentz): questa "distanza" fra due eventi (x,y,z,t) e (x',y',z',t') è la quantità
- d = (x − x')2 + (y − y')2 + (z − z')2 − c2(t − t')2
dove c è la velocità della luce. Questo numero reale d, che può essere positivo, negativo o nullo, è la separazione spazio-temporale fra i due eventi, e non dipende dal riferimento su cui è posto l'osservatore. A differenza dello spazio-tempo galileiano, ciascuna delle due componenti spaziale e temporale, date da (x − x')2 + (y − y')2 + (z − z')2 e (t − t')2 non è però invariante. La separazione spazio-temporale è una quantità invariante per tutte le trasformazioni del gruppo di Poincaré (comprendente le trasformazioni di Lorentz e le usuali traslazioni dello spazio).
[modifica] Vettori di tipo spazio, di tipo tempo e cono di luce
Poiché d può assumere valori negativi, la separazione spazio-temporale non è una usuale distanza. In particolare, la distanza d(P,Q) fra P = (x,y,z,t) e Q = (x',y',z',t') può essere positiva, nulla o negativa: il vettore 
è quindi detto rispettivamente di tipo spazio, nullo, o di tipo tempo. I vettori nulli uscenti da P formano il cosiddetto cono di luce centrato in P.
Dato che la rappresentazione in quattro dimensioni risulta essere graficamente difficile, nelle descrizioni è uso abbandonare per semplicità una o due coordinate spaziali, rappresentando ad esempio il sistema bidimensionale (x, t) o tridimensionale (x,y,t). Nella descrizione tridimensionale, il cono di luce è effettivamente un (doppio) cono, uscente da P.
[modifica] Struttura causale
I vettori di tipo tempo uscenti da P possono essere ulteriormente scomposti in due classi: i vettori temporali futuri, la cui componente temporale t ha t > 0, e quelli passati, aventi t < 0. Analogamente, il cono di luce contiene i vettori nulli futuri, aventi t > 0, ed i nulli passati con t < 0.
Il movimento di un oggetto puntiforme è descritto come una curva, con coordinata temporale sempre crescente. Una tale curva è detta linea di universo. Poiché tale oggetto non può viaggiare più veloce della luce, in ogni punto il suo vettore tangente è di tipo tempo futuro, o al limite nullo futuro, se l'oggetto viaggia alla velocità della luce.
Per questa restrizione, se due eventi P e Q hanno distanza positiva, cioè è di tipo spazio, questi non possono essere correlati da nessuna linea di universo: in altre parole, l'evento in P non può in nessun modo condizionare l'evento in Q, che è quindi irraggiungibile per P.
[modifica] Coordinate fisicamente omogenee
La coordinata temporale è generalmente moltiplicata per c per ottenere quattro coordinate fisicamente omogenee (tutte spaziali). Inoltre, nei modelli iniziali dello spazio di Minkowski la coordinata temporale era anche moltiplicata per il numero immaginario i e messa al primo posto, così da ottenere quattro coordinate (x0,x1,x2,x3) con x0 = ict, ove le altre tre coordinate sono usuali coordinate spaziali reali.
La moltiplicazione per i è un artificio per ottenere, tramite applicazione della normale distanza euclidea fra vettori (x0,x1,x2,x3) e (y0,y1,y2,y3), la separazione spazio-temporale[1]
- d = (x0 − y0)2 + (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2 = (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2 − c2(t0 − t1)2.
[modifica] Struttura matematica
Con il passare del tempo, si è preferito abbandonare la coordinata immaginaria e definire lo spazio-tempo di Minkowski matematicamente come un usuale spazio euclideo a coordinate reali, su cui è però definita una distanza differente da quella euclidea. Questa distanza è ricavata da un prodotto scalare differente da quello ordinario.
Più precisamente, oggi si definisce uno spazio-tempo di Minkowski come uno spazio vettoriale reale di dimensione 4, dotato di un prodotto scalare con segnatura (1,3), cioè (+,-,-,-). Tale prodotto scalare è quindi non degenere, ma non è definito positivo [2]. Alcuni matematici e fisici definiscono lo spazio-tempo di Minkowski come lo spazio dotato del prodotto scalare opposto, di segnatura (3,1), cioè (-,+,+,+): le proprietà fondamentali dello spazio sono comunque le stesse in entrambe le convenzioni. In entrambi i casi, il prodotto scalare è chiamato pseudoeuclideo.
[modifica] Esempio
Un esempio di spazio-tempo di Minkowski è lo spazio 
dotato del prodotto scalare
Questo spazio si denota a volte con il simbolo R1,3; talvolta viene anche utilizzato il simbolo M4 o più semplicemente M.
[modifica] Basi ortonormali
L'esempio citato è fondamentale: infatti per il teorema di Sylvester, ogni spazio-tempo di Minkowski V è isomorfo a R1,3. Un isomorfismo è costruito a partire da una qualsiasi base ortogonale (e0,e1,e2,e3) tale che:
Una base ortogonale di questo tipo viene spesso chiamata base ortonormale, e può essere costruita tramite l'algoritmo di Lagrange.
In notazione tensoriale, una base ortonormale è una base (e0,e1,e2,e3) che soddisfa l'identità:
dove μ e ν variano fra i valori (0,1,2,3) e la matrice η è data da:
Relativamente ad una base ortonormale, le componenti di un vettore v sono scritte tramite le loro coordinate (v0,v1,v2,v3). Usando la notazione di Einstein, si scrive brevemente:
La componente v0 è chiamata componente temporale di v, mentre le altre sono le componenti spaziali. Queste componenti dipendono dalla base scelta e non siano intrinsecamente legate a v: questo è un concetto fondamentale nello spazio-tempo di Minkowski, legato al fatto che spazio e tempo non sono assoluti. Per evidenziare questa differenza con l'ordinario spazio euclideo, i vettori di uno spazio-tempo di Minkowski sono spesso chiamati quadrivettori.
Il prodotto scalare fra due vettori v e w scritti in coordinate è quindi:
[modifica] Norma quadrata
Il prodotto scalare non è definito positivo: esistono vettori v per cui:
Non è quindi possibile definire una norma tramite l'uguaglianza:
come viene fatto normalmente per i prodotti scalari definiti positivi, poiché il secondo membro è negativo per alcuni vettori e quindi non ha una radice reale positiva. La norma quadrata | v | 2 è comunque definita. In notazione di Einstein, la norma quadrata di un vettore v si esprime come:
[modifica] Definizione Alternativa
Più sopra lo spazio di Minkowski è stato definito come uno spazio vettoriale con determinate proprietà. Vi è una definizione alternativa, collegata agli spazi affini, che vede lo spazio di Minkowski come uno spazio omogeneo del gruppo di Poincarè con il gruppo di Lorentz come stabilizzatore. Si veda il programma di Erlangen [3].
[modifica] Trasformazioni di Lorentz
Vedi: Trasformazione di Lorentz, Simmetria di Poincaré, Gruppo di Poincarè.
[modifica] Spazio-tempo localmente piatto
In senso stretto l'uso dello spazio di Minkowski per descrivere i sistemi fisici su distanze infinite si applica solo nel limite newtoniano dei sistemi senza gravitazione significativa. In caso di gravitazione significativa, lo spazio tempo diventa curvo e si deve abbandonare la relatività speciale per la più completa relatività generale.
Nonostante ciò anche in questo caso lo spazio di Minkowski dà ancora una buona descrizione di una regione infinitesima che circonda tutti i punti (tranne le singolarità gravitazionali). In senso più astratto si può dire che in presenza di gravità lo spazio-tempo viene descritto da una varietà curva a 4 dimensioni per la quale lo spazio tangente ad ogni punto è uno spazio di Minkowski a 4 dimensioni. Quindi, la struttura dello spazio di Minkowski è ancora essenziale nella descrizione della relatività generale.
Quando la gravità è estremamente debole lo spazio-tempo diviene piatto così da apparire totalmente, non solo localmente, come spazio di Minkowski. Per questo motivo lo spazio di Minkowski viene spesso definito come uno spazio-tempo piatto.
[modifica] Note
- ^ La distanza euclidea è a dire il vero la radice quadrata di questo numero: in questo contesto, il risultato può essere negativo e quindi la radice non viene svolta.
- ^ Alcuni autori incorporano l'ipotesi "definito positivo" nella definizione di prodotto scalare, e quindi usano il termine forma bilineare simmetrica al posto del termine "prodotto scalare" usato qui.
- ^ Programma di Erlangen.
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