Formula di Feynman-Kac

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

La formula di Feynman-Kac (dai suoi autori Richard Feynman e Mark Kac) è un'equazione matematica che fornisce una rappresentazione della soluzione di alcune classi di equazioni alle derivate parziali (PDE), utilizzando le proprietà probabilistiche dei processi stocastici. Pertanto, essa rappresenta un'importante relazione tra analisi differenziale e probabilità, e consente di rendere rigorosi alcuni risultati intuitivi della fisica.

Si consideri una PDE nella forma:

$\frac{\partial f}{\partial t} + \mu(x,t)\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2}\sigma^2(x,t)\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=0$

sotto la condizione terminale:

$\ f(x,T)=\psi(x)$

dove $\mu,\ \sigma,\ \psi$ sono funzioni note, e $f$ è incognita. Il risultato di Feynman-Kac stabilisce che la soluzione può essere scritta come un valore atteso:

$f(x,t)=\textrm{E}\left[\psi(X_{T})|X_t=x\right]$

dove $\ X$ è un processo di Itô caratterizzato dall'equazione differenziale stocastica:

$\ dX = \mu(X,t)dt + \sigma(X,t)dW_t$

Il valore atteso sopra può essere approssimato tramite metodi Monte Carlo o quasi-Monte Carlo.

[modifica] Dimostrazione

La verifica della correttezza della soluzione esposta sopra è immediata. Applicando il lemma di Itô alla funzione incognita $f$ si ha:

$df=\left(\mu(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{1}{2}\sigma^2(x,t)\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\right)dt+\sigma(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}dW_t$

Il primo termine tra parentesi altro non è che la PDE in questione, ed è per ipotesi nullo; integrando ambo i membri dell'espressione sopra si ottiene:

$\int_t^T df=f(x,T)-f(x,t)=\int_t^T\sigma(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}\,dW_t$

da cui, riorganizzando l'espressione e prendendo il valore atteso di ambo i membri:

$f(x,t)=\textrm{E}\left[f(x,T)\right]-\textrm{E}\left[\int_t^T\sigma(x,t)\frac{\partial f}{\partial x}\,dW_t\right]$

Poiché il valore atteso di un integrale di Itô rispetto al moto browniano $\ W_{t}$ è nullo, si ottiene la soluzione desiderata:

$f(x,t)=\textrm{E}\left[f(x,T)\right]=\textrm{E}\left[\psi(x)\right]=\textrm{E}\left[\psi(X_{T})|X_t=x\right]$

[modifica] Estensioni

La soluzione sopra illustrata può senza difficoltà essere estesa a una classe di PDE più ampia; è infatti possibile mostrare che l'equazione della forma:

$\frac{\partial f}{\partial t} + \mu(x,t)\frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2}\sigma^2(x,t)\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-k(t)f(x,t)=0$

sotto la condizione terminale:

$\ f(x,T)=\psi(x)$

ha per soluzione:

$f(x,t)=\textrm{E}\left[\exp\left\{-\int_t^T k(\tau)d\tau\right\}\psi(X_T)|X_t=x\right]$

La dimostrazione di questo risultato procede sulla falsariga di quella esposta sopra, con la differenza che il lemma di Itô è applicato alla funzione

$g(x,t)=f(x,t)\exp\left\{\int_t^T k(\tau)d\tau\right\}$ .

La soluzione di equazioni nella forma testé esaminata è frequente nell'ambito della finanza matematica; la celebre equazione di Black-Scholes, che determina il prezzo di non arbitraggio di uno strumento derivato, ha infatti tale forma.