Filtri digitali ad onda

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I filtri digitali ad onda o WDF Wave Digital Filters sono uno strumento matematico per l'integrazione di sistemi di equazioni differenziali descriventi reti elettriche a costanti concentrate. La teoria è stata sviluppata principalmente da Alfred Fettweiss alla fine degli anni '60 del XX secolo e compare per la prima volta nell'articolo Digital filters related to classical structures [1].

Il componente elementare di una rete elettrica è il bipolo, un oggetto a due terminali per cui è possibile definire due segnali coniugati, corrente e tensione. La relazione tra corrente e tensione è regolata dall'impedenza. Nel dominio Z abbiamo:

$V(z)=Z(z)\cdot I(z)$

$(1)\,\!$

Il nucleo della teoria dei filtri digitali ad onda è di integrare sistemi di equazioni differenziali, anche molto complessi, decomponendoli in sottounità elementari (i bipoli nel caso di reti elettriche), regolate da relazioni del più basso ordine ^[1] possibile.

A questo scopo non è però possibile utilizzare i segnali corrente e tensione, perché non si può, nel discreto, scrivere relazioni in cui V[n] sia indipendente da I[n] o viceversa (dove n è l'ennesimo intervallo di campionamento). L'impossibilità di eliminare la dipendenza istantanea^[2] tra corrente e tensione impedisce la realizzazione di un algoritmo risolutivo dell'equazione alle differenze finite.

[modifica] Bipoli

La soluzione al problema della dipendenza istantanea tra corrente e tensione è quella di introdure due nuovi segnali di ingresso-uscita che chiameremo A e B, tali che:

$B(z)= \Gamma(z;\rho )A (z)\,\!$

$(2)\,\!$

Con:

$\Gamma (z;\rho )=\frac{Z(z)-\rho}{Z(z)+\rho}$

Infatti se:

$\left\{ \begin{array}{l} A(z)=V(z)+\rho I(z)\\ B(z)=V(z)-\rho I(z) \end{array} \right.$

con pochi e semplici passaggi la (1) può essere scritta come la (2). Il termine $\Gamma(z;\rho)\,\!$ è detto coefficiente di riflessione e gioca per A e B lo stesso ruolo che gioca Z per V ed I. $\rho\,\!$ è un parametro libero, la sua scelta opportuna permette di scrivere relazioni tra A e B per i bipoli passivi tali che b[n] sia indipendente da a[n]. Tali relazioni sono elencate di seguito per resistenza, capacità induttanza e generatore resistivo^[3].

[modifica] Resistenza

L'impedenza è ovviamente:

$Z(z) = R\,\!$

Scegliendo $\rho = R\,\!$ si ottiene:

$\rho = R \,\!$

$\Gamma(z;\rho) = 0\,\!$

$b[n] = 0\,\!$

[modifica] Condensatore

Usando la trasformazione bilineare:

$s \leftrightarrow \frac{2}{T_c}\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$

si ottiene per la trasformata $\mathcal{Z}$ dell'impedenza:

$Z(z) = \frac{T_c}{2C} \frac{1+z^{-1}}{1-z^{-1}}$

da cui scegliendo $\rho = \frac{T_c}{2C}$ :

$\rho = \frac{T_c}{2C} \,\!$

$\Gamma(z;\rho) = z^{-1} \,\!$

$b[n] = a[n-1] \,\!$

[modifica] Induttanza

Seguendo lo stesso ragionamento fatto per il condensatore abbiamo:

$Z(z) = \frac{2L}{T_c} \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}\,\!$

$\rho = \frac{2L}{T_c}\,\!$

$\Gamma(z;\rho) = -z^{-1}\,\!$

$b[n] = -a[n-1]\,\!$

[modifica] Generatore resistivo

La relazione tra tensione ai capi del bipolo e corrente di ramo sarà:

$V(z) = E(z) + R\cdot I(z)\,\!$

scgliendo come per la resistenza $R=\rho\,\!$ otteniamo:

$\rho = R\,\!$

$\Gamma(z;\rho) = 0\,\!$

$b[n] = \textrm{e}[n]\,\!$

[modifica] Adattatori

Il bipolo è un elemento a una porta; quando si connettono due porte 1 e 2, ad esempio due bipoli, si ha $a 1 = b 2$ e $b 1 = a 2$ se e solo se $ρ 1 = ρ 2$ . Se però la scelta delle impedenze di porta non è libera, sarà necessario inserire tra le due porte un elemento che adatti le impedenze.

L'adattatore è l'elemento (a n porte) che adatta le impedenze e gestisce le connessioni tra i bipoli in base alla loro connessione topologica. Le posizioni topologiche necessarie per descrivere ogni tipo di rete elettrica sono due: serie e parallelo.

[modifica] Serie

Fig. 1: Rappresentazione simbolica dell'adattatore serie di un filtro digitale ad onda. (a) Senza porta priva di riflessione (b) Con porta priva di riflessione

Dalle Leggi di Kirchhoff, per N bipoli connessi in serie si ha:

$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle \sum_{k=1}^Nv_k=0\\ i_k=i\quad\forall k \end{array}\right.$

siano ora $\tilde{a}_k$ e $\tilde{b}_k$ le variabili d'onda del bipolo connesso alla $k e s i m a$ pora dell'adattatore, si possono definire le variabili d'onda di tale porta:

$\left\{ \begin{array}{l} a_k=v_k+\rho_k i_k\\ b_k=v_k-\rho_k i_k \end{array}\right.$

tali che se $\rho_k=\tilde{\rho}_k \quad \Rightarrow\quad a_k=\tilde{a}_k,\quad b_k=\tilde{b}_k\qquad \forall k.$ Con pochi passaggi si arriva a scrivere per l'adattatore serie:

$b_k = a_k -\gamma_k ( a_1+a_2+\ldots +a_N)$

$\gamma_k = \frac{2\rho_k}{\rho_1+\rho_2+\ldots +\rho_N}$

Notiamo che se $\rho_k > 0 \quad \forall k \quad \Rightarrow \sum_{k=1}^N\gamma_k=2$ , allora se ad esempio

$\rho_1=\sum_{k=2}^N\rho_k\,\!$

$(3)\,\!$

possiamo scrivere:

$\gamma_1=1\qquad \gamma_k = \frac{\rho_k}{\rho_1+\rho_2+\ldots +\rho_N} \quad k\neq 1$

$b_1 = -(a_2+a_3+\ldots +a_N)$

$(4)\,\!$

$b_k = a_k -\gamma_k ( a_1+a_2+\ldots +a_N) \qquad k\neq 1$

La (4) mostra che quando è valida la (3) l'uscita della porta 1 non dipende istantaneamente dal suo ingresso, ovvero la porta 1 è detta priva di riflessione istatanea.

[modifica] Parallelo

Fig. 2: Rappresentazione simbolica dell'adattatore parallelo di un filtro digitale ad onda. (a) Senza porta priva di riflessione (b) Con porta priva di riflessione

Quando N bipoli sono connessi in parallelo abbiamo:

$\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle v_k=v\quad\forall k\\ \sum_{k=1}^Ni_k=0 \end{array} \right.$

Seguendo lo stesso ragionamento fatto per gli adattatori serie possiamo scrivere:

$b_k = \gamma_1 a_1 +\gamma_2 a_2 +\ldots + \gamma_N a_N - a_k$

$\gamma_k = \frac{2g_k}{g_1 + g_2 +\ldots +g_N}$

Dove $g_k=\rho_k^{-1}$ è l'inverso dell'impedenza della $k e s i m a$ porta. Anche per l'adattatore parallelo se $g_k > 0 \quad \forall k \quad \Rightarrow \sum_{k=1}^N\gamma_k=2$ , e quindi se:

$g_1=\sum_{k=2}^N g_k$

Otteniamo:

$\gamma_1=1\qquad \gamma_k = \frac{g_k}{g_1 + g_2 +\ldots +g_N} \quad k\neq 1$

$b_1 = \gamma_2 a_2 +\gamma_3 a_3 +\ldots + \gamma_N a_N$

$(5)\,\!$

$b_k = \gamma_1 a_1 +\gamma_2 a_2 +\ldots + \gamma_N a_N - a_k \qquad k\neq 1$

[modifica] Porte prive di riflessione

Come mostrato dalle (4) e (5) quando l'impedenza di una delle porte è libera e $\rho_k>0\quad\forall k$ , un adattatore (serie o parallelo) può avere una (ed una sola) porta priva di riflessione. La possibilità di costruire adattatori con porta priva di riflessione è fondamentale, infatti il tema centrale della teoria dei filtri digitali ad onda è l'eliminazione di cicli a ritardo nullo, che sarebbe impossibile se ad esempio si dovessero connettere tra loro due adattatori.

Il problema si risolve impostando una delle due porte che connettono due adattatori come priva di riflessione.

[modifica] Utilizzo

La teoria dei filtri digitali ad onda può essere utilizzata per implementare la simulazione di una larga categoria di reti elettriche; attive o passive, lineari o non lineari ^[4]. Inoltre si possono simulare tutti quegli eventi descritti da equazioni differenziali uguali a quelle di un circuito elettrico, ad esempio, utilizzando l'Analogia elettromeccanica, il moto di una massa collegata ad una molla (è descritto dalle stesse equazioni di un circuito rlc serie). I filtri digitali ad onda sono particolarmente indicati per simulare sistemi complessi grazie a notevoli caratteristiche quali la modularità e l'ottima ^[5] stabilità rispetto alla quantizzazione dei segnali ed all'overflow.

[modifica] Note

^ Inteso come ordine dell'equazione differenziale
^ Poniamo di avere due oggetti A e B i quali possono trasmettere e ricevere segnali a tempi discreti. Chiamati A_in[n],B_in[n] e A_out[n],B_out[n] i segnali rispettivamente in ingresso ed uscita per i due oggetti all'istante n. Se l'ingresso di A è collegato all'uscita di B e viceversa, avremo:
- $A i n [n] = B o u t [n]$ e $A o u t [n], B i n [n]$
Se inoltre l'uscita di un bipolo è funzione del suo ingresso al tempo n:
- $A o u t [n] = F A (A i n [n])$ e $B o u t [n] = F B (B i n [n])$
Sarà impossibile scrivere un algoritmo risolutivo del sistema.
^ Si può anche definire il generatore ideale di tensione, ma il suo utilizzo è una scelta poco intelligente, infatti nel caso del generatore ideale non si riesce ad eliminare la dipendenza istantanea tra A e B.
^ In effetti i filtri digitali ad onda sono uno dei pochi strumenti validi per l'integrazione di sistemi di equazioni differenziali non lineari senza approssimazioni vedi [4].
^ Rispetto ad implementazioni più tradizionali

[modifica] Bibliografia

[1] Alfred Fettweis, "Digital filters related to classical structures," AEU: Archive für Elektronik und Übertragungstechnik, vol. 25, pp. 79-89, Feb 1971

[2] Alfred Fettweiss and Klaus Meerkötter. On adaptors for wave digital filters. IEEE Transaction on acoustics, Speech and Signal Processing, (6):516-524, December 1975.

[3] Alfred Fettweiss. Wave digital filters: Theory and practice. Proceedings of the IEEE, 74(2):270-327, February 1986

[4] Augusto Sarti e Giovanni De Poli. Toward nonlinear wave digital filters. IEEE Transaction on Signal Processing, 47(6):1654-1668, June 1999

[modifica] Voci correlate

Categoria: Digital signal processing

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