Equazioni di Navier-Stokes

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MECCANICA CLASSICA

Meccanica del continuo

Leggi fisiche

Generale

Corpo continuo · Continuo di Cauchy
Tensione interna · Deformazione
Relazioni costitutive

Meccanica dei solidi

Meccanica dei fluidi

Le equazioni di Navier-Stokes sono un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali che descrive il comportamento di un fluido dal punto di vista macroscopico. Esse presuppongono perciò la continuità del fluido in esame, ovverosia il sistema perde di validità nello studio di un gas rarefatto. L'ipotesi di base è che il fluido possa essere modellato come un continuo deformabile. Un parametro fondamentale che caratterizza il mezzo rispetto a questo punto di vista è il numero di Knudsen definito come il rapporto tra il libero cammino medio di una particella costituente il fluido e una lunghezza caratteristica del flusso:

$Kn = \frac {l}{L}.$

Se il numero di Knudsen è molto minore di uno, allora è possibile considerare il fluido continuo. Altrimenti è possibile studiare il comportamento del gas solo su base statistica mediante la teoria cinetica dei gas, la quale studia statisticamente la distribuzione delle velocità molecolari e da questa ricava tutte le proprietà del gas.

Le equazioni debbono il loro nome da quello di Claude-Louis Navier e di George Gabriel Stokes.

L'efficienza predittiva di tali equazioni viene pagata in termini di difficoltà di calcolo. Nel caso generale coinvolgono infatti cinque equazioni scalari differenziali alle derivate parziali e 20 variabili. Il bilancio tra equazioni e incognite avviene (come vedremo più avanti) con la definizione delle proprietà del fluido considerato, delle eventuali forze di campo in gioco e con considerazioni matematiche. Inoltre, a causa della loro non linearità, le equazioni di Navier-Stokes non ammettono quasi mai una soluzione analitica (ovvero una soluzione esatta), ma esclusivamente numerica (una soluzione approssimata con un metodo numerico).

Le equazioni vengono completate dalle condizioni al contorno (condizioni sul contorno del fluido in esame) e dalle condizioni iniziali (condizioni imposte all'inizio temporale del fenomeno da studiare). Possono inoltre essere integrate dall'equazione di stato dei gas perfetti e dalle equazioni di conservazione delle singole specie gassose nel caso di una miscela di gas.

[modifica] Derivazione delle Navier-Stokes

Le equazioni di Navier-Stokes sono la formalizzazione matematica di tre principi fisici ai quali i fluidi, imposta la condizione di continuo deformabile, sono costretti a sottostare:

principio di conservazione della massa (equazione di continuità);
secondo principio della dinamica (bilancio della quantità di moto);
primo principio della termodinamica (conservazione dell'energia).

Per questo motivo sono spesso nominate anche "equazioni di bilancio".

Dal punto di vista puramente matematico le equazioni di Navier Stokes saranno scritte in forma euleriana. Denomineremo $τ$ il volume infinitesimo di controllo, e esso sarà delimitato dalla superficie $σ$ .
Verranno considerati flussi positivi quelli entranti in $τ$ e negativi quelli uscenti. Si definisce flusso netto la differenza tra i flussi uscenti e quelli entranti.

Nei successivi paragrafi indicheremo sempre il vettore 'velocità del fluido' con la notazione $\vec V$ , mentre $p$ e $ρ$ indicheranno rispettivamente la pressione statica e la densità del fluido stesso. Il simbolo $\vec a$ rappresenterà il vettore delle accelerazioni di campo.

[modifica] Principio di conservazione della massa

Per approfondire, vedi la voce Legge della conservazione della massa.

La variazione di massa in $τ$ nell'unità di tempo uguaglia la differenza tra i flussi di massa entranti e quelli uscenti (opposto del flusso netto).

Un generico flusso di massa attraverso una coppia di facce è considerato come il prodotto tra la densità $ρ$ del fluido e la componente della velocità in direzione perpendicolare alle facce considerate (il flusso di una componente attraverso facce parallele alla componente stessa è nullo).
Per l'ipotesi di elemento infinitesimo possiamo confondere il valore puntuale del flusso nel punto centrale di ogni faccia con il suo valore medio e calcolare il valore del flusso su una faccia a partire dal valore assunto sulla faccia precedente tramite una serie troncata di Taylor al primo ordine:

$\Phi_P=\rho u \qquad \Phi_Q=\rho u +\frac {\partial \rho u} {\partial x}$

Da cui, seguendo l'enunciato del principio otteniamo:

$\Phi_x=\Phi_Q-\Phi_P=\rho u + \frac {\partial \rho u} {\partial x}-\rho u=\frac {\partial \rho u} {\partial x}$

Estendendo il ragionamento alle altre direzioni otteniamo che il flusso totale $Φ$ sarà uguale a:

$\Phi=\frac {\partial \rho u} {\partial x}+\frac {\partial \rho v} {\partial y}+\frac {\partial \rho w} {\partial z}=\nabla \cdot \rho \vec V$

In definitiva il principio viene formalizzato come:

$\frac {\partial \rho} {\partial t} + \nabla \cdot \rho \vec V = 0$

[modifica] Secondo principio della dinamica

Per approfondire, vedi la voce Legge di conservazione della quantità di moto.

La variazione nel'unità di tempo della quantità di moto del fluido contenuto nel volume di controllo $τ$ sommata al flusso netto di quantità di moto attraverso la superficie $σ$ uguaglia la risultante delle forze esterne agenti sull'elemento di fluido contenuto nel volumetto stesso.

Per una singola direzione il flusso di quantità di moto si definisce come il prodotto del flusso di massa che attraversa la coppia di facce dell'elementino normali alla direzione considerata, moltiplicato per la componente di velocità nella direzione stessa. Applicando alle 3 direzioni e considerando le 3 coppie di facce dell'elementino di fluido otterremo:

$\Phi_x=\frac {\partial u \rho u} {\partial x}+\frac {\partial u \rho v} {\partial y}+\frac {\partial u \rho w} {\partial z}$ $\Phi_y=\frac {\partial v \rho u} {\partial x}+\frac {\partial v \rho v} {\partial y}+\frac {\partial v \rho w} {\partial z}$ $\Phi_z=\frac {\partial w \rho u} {\partial x}+\frac {\partial w \rho v} {\partial y}+\frac {\partial w \rho w} {\partial z}$

In forma vettoriale potremo scrivere:

$\vec \Phi=\vec V \nabla \rho \vec V$

Questo termine, insieme alla derivata temporale della quantità di moto, forma il primo membro dell'equazione che formalizzerà in secondo principio della dinamica.

Il secondo membro raccoglie tutte le risultanti delle forze esterne agenti sul fluido nell'istante considerato. Tipicamente le forze considerate saranno:

Forze di pressione:

sono provocate dalle differenze di pressione presente alle facce dell'elementino infinitesimo di fluido considerato.

In condizioni di equilibrio le pressioni relative alle facce parallele del fluido sono uguali. L'incremento è valutabile per le tre direzioni come:

$P_x=-\frac {\partial p} {\partial x}$ $P_y=-\frac {\partial p} {\partial y}$ $P_z=-\frac {\partial p} {\partial z}$

Che in notazione vettoriale equivale a scrivere:

$P=-\nabla p$

Risultante degli sforzi viscosi:

sono generate dalla viscosità del fluido in moto rotazionale e agiscono normalmente e tangenzialmente alle facce dell'elementino di fluido considerato.

Gli sforzi viscosi sono raggruppati in un tensore

S

le cui componenti saranno indicate con la notazione

S i j

, :volendo indicare con i la direzione parallela a quella dello sforzo e con j la direzione normale alla faccia su cui lo sforzo agisce.

Seguendo anche in questo caso il bilancio delle forze in ognuna delle tre direzioni potremo scrivere:

$F_{sx}= \frac {\partial S_{xx}} {\partial x} + \frac {\partial S_{xy}} {\partial y} + \frac {\partial S_{xz}} {\partial z}$ $F_{sy}= \frac {\partial S_{yx}} {\partial x} + \frac {\partial S_{yy}} {\partial y} + \frac {\partial S_{yz}} {\partial z}$ $F_{sz}= \frac {\partial S_{zx}} {\partial x} + \frac {\partial S_{zy}} {\partial y} + \frac {\partial S_{zz}} {\partial z}$

Risultante delle forze di campo:

le forze di campo tipicamente considerate in un moto di un fluido sono dovute alla gravità terrestre e sono quindi considerate come il prodotto tra la densità del fluido in esame e del vettore $\vec g$ accelerazione di gravità.

In definitiva le tre equazioni scalari che definiscono il secondo principio della dinamica per i fluidi in moto si scrivono:

$\frac {\partial \rho u} {\partial t} + \frac {\partial u \rho u} {\partial x}+\frac {\partial u \rho v} {\partial y}+\frac {\partial u \rho w} {\partial z}=-\frac {\partial p} {\partial x} + \frac {\partial S_{xx}} {\partial x} + \frac {\partial S_{xy}} {\partial y} + \frac {\partial S_{xz}} {\partial z} + \rho g_x$ $\frac {\partial \rho v} {\partial t} + \frac {\partial v \rho u} {\partial x}+\frac {\partial v \rho v} {\partial y}+\frac {\partial v \rho w} {\partial z}=-\frac {\partial p} {\partial y}+\frac {\partial S_{yx}} {\partial x} + \frac {\partial S_{yy}} {\partial y} + \frac {\partial S_{yz}} {\partial z}+ \rho g_y$ $\frac {\partial \rho w} {\partial t} +\frac {\partial w \rho u} {\partial x}+\frac {\partial w \rho v} {\partial y}+\frac {\partial w \rho w} {\partial z}=-\frac {\partial p} {\partial z}+\frac {\partial S_{zx}} {\partial x} + \frac {\partial S_{zy}} {\partial y} + \frac {\partial S_{zz}} {\partial z}+ \rho g_z$

o in forma vettoriale:

$\frac {\partial \rho \vec V} {\partial t} + \nabla \cdot \left( \rho \vec V \cdot \vec V \right) = - \nabla p + \mu \nabla^2 \vec V + \left( \mu + \lambda \right) \nabla \left( \nabla \cdot \vec V \right) + \rho \vec g$

dove μ è la viscosità dinamica e λ è la viscosità longitudinale. Spesso viene anche indicata in questo modo:

$\frac {\partial \rho \vec V} {\partial t} + \nabla \cdot \left( \rho \vec V \cdot \vec V \right) = - \nabla p + \mu \nabla^2 \vec V + \left( 4 \mu /3 + \mu ^v \right) \nabla \left( \nabla \cdot \vec V \right) + \rho \vec g$

dove con μ^v si è indicata la viscosità dilatazionale (o bulk viscosity in letteratura anglosassone).

[modifica] Primo principio della termodinamica

Per approfondire, vedi la voce Legge di conservazione dell'energia.

La variazione termica trasmessa all'elemento di fluido per conduzione Come si nota in questa formulazione viene trascurata l'energia trasmessa all'elemento per irraggiamento. Formalizzando matematicamente questo principio si sfrutterà il concetto di energia totale per unità di massa $E$ che è uno scalare definito come:

$E = e + \frac {1} {2} V^2$

cioè la somma tra l'energia interna delle molecole e l'energia meccanica degli elementini di fluido.
Nell'enunciato si parla di flusso netto di energia totale: come per la quantità di moto si indicherà questo flusso come il prodotto tra il flusso di massa e l'energia totale per unità di massa trasportata in ogni direzione:

$\Phi_E=\frac {\partial E \rho u} {\partial x} + \frac {\partial E \rho v} {\partial y} + \frac {\partial E \rho w} {\partial z}$

La potenza degli sforzi agenti sull'elementino di fluido considerato comprende sia la potenza sviluppata dagli sforzi viscosi del tensore $S$ sia gli sforzi associati alla pressione.

Ricorrendo alla definizione di potenza come prodotto di una forza per una velocità, si potrà scrivere:

$P_S=\frac {\partial (S_{xx}u+S_{yx}v+S_{zx}w)} {\partial x}+\frac {\partial (S_{xy}u+S_{yy}v+S_{zy}w)} {\partial y}+\frac {\partial (S_{xz}u+S_{yz}v+S_{zz}w)} {\partial z}$

per quanto riguarda gli sforzi viscosi, mentre per la pressione sarà:

$P_p=-\left(\frac {\partial p u} {\partial x} + \frac {\partial p v} {\partial y} + \frac {\partial p w} {\partial z}\right)$

La potenza delle forze di campo si definisce come:

P c = ρ a x u + ρ a y v + ρ a z w

Per quanto riguarda la potenza termica trasmessa per conduzione attraverso le facce dell'elementino è necessaria la definizione di un vettore $\vec q=[q_x, q_y, q_z]^T$ flusso termico. Sarà possibile scrivere:

$-\left(\frac {\partial q_x} {\partial x} + \frac {\partial q_y} {\partial y} + \frac {\partial q_z} {\partial z}\right)$

L'equazione completa che formalizza il primo principio della termodinamica per i fluidi in movimento sarà quindi:

$\frac {\partial \rho E} {\partial t} + \frac {\partial E \rho u} {\partial x} + \frac {\partial E \rho v} {\partial y} + \frac {\partial E \rho w} {\partial z} = -\left(\frac {\partial p u} {\partial x} + \frac {\partial p v} {\partial y} + \frac {\partial p w} {\partial z}\right) +$ $+ \frac {\partial (S_{xx}u+S_{yx}v+S_{zx}w)} {\partial x}+\frac {\partial (S_{xy}u+S_{yy}v+S_{zy}w)} {\partial y}+\frac {\partial (S_{xz}u+S_{yz}v+S_{zz}w)} {\partial z} +$ $+ \rho a_xu+\rho a_yv \rho a_zw - \left(\frac {\partial q_x} {\partial x} + \frac {\partial q_y} {\partial y} + \frac {\partial q_z} {\partial z}\right)$

[modifica] Osservazioni e chiusura del problema

Le 3 equazioni (due equazioni scalari ed una equazione vettoriale) appena derivate sono insufficienti, da sole, alla chiusura del problema della determinazione del campo di moto del fluido. Infatti le equazioni contengono 20 incognite:

densità
vettore velocità (3 incognite)
pressione
tensore degli sforzi viscosi $S$ (9 incognite)
vettore accelerazione di campo (3 incognite)
energia interna $e$
vettore flusso termico $\vec q$ , sempre riconducibile a una funzione di un coefficiente di conducibilità termica e della temperatura (2 incognite)

Queste equazioni sono del tutto generali e per la loro applicazione è necessaria una sorta di specializzazione delle stesse alla situazione di lavoro.

Per la chiusura del problema è quindi necessario definire le proprietà termofisiche del fluido in esame (che permettono di definire la conducibilità termica, la densità, l'energia interna e una o più equazioni di stato in grado di determinare anche temperatura e pressione) e il campo di forze in cui si muove (determinando il vettore di accelerazioni di campo). Inoltre si osserva che il tensore degli sforzi viscosi $S$ è simmetrico, con la conseguenza che le incognite effettivamente contenute sono 6 e non 9 e sono determinabili sperimentalmente o teoricamente specificando il tipo di fluido. Saranno successivamente necessarie le condizioni iniziali e le condizioni al contorno, trattandosi di equazioni differenziali (problema di Cauchy o problema di von Neumann).

[modifica] Le equazioni in forma adimensionale

Le equazioni scritte nei paragrafi precedenti sono in forma dimensionale, nel senso che ogni termine possiede dimensioni fisiche della grandezza considerata:

$\mathrm{ \frac{kg}{m^3 \, s} \qquad }$ nella prima equazione;

$\mathrm{ \frac{kg}{m^2 \, s^2} \qquad }$ nelle tre equazioni della quantità di moto;

$\mathrm{ \frac{kg}{m \, s^2} \qquad }$ nell'ultima equazione.

Di conseguenza, volendo confrontare tra loro i numerosi coefficienti per sapere quali di essi sia il più preponderante nei vari casi in esame, bisognerebbe calcolare il valore di ogni singolo termine. Un metodo pratico per ovviare a questa necessità è quello di dividere ogni coefficiente per una certa grandezza omogenea di riferimento, in tal modo i coefficienti risulteranno adimensionali. Queste grandezze di riferimento saranno scelte in base alle condizioni al contorno ed alle condizioni iniziali del particolare problema fluidodinamico che si vuole esaminare. Qui sono indicate con il pedice 0 (zero):

$\rho^* = \frac{\rho}{\rho_0} \qquad {u_i}^* = \frac{u_i}{U_0} \qquad p^* = \frac{p}{p_0} \qquad t^* = \frac{t}{t_0} \qquad x^* = \frac{x_i}{L_0} \qquad T^* = \frac{T}{T_0}$

[modifica] L'equazione di conservazione della massa

L'equazione di conservazione della massa scritta nella forma:

$\frac{D \rho}{D t} + \rho \vec{\nabla} \cdot \vec{u} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \vec{\nabla}) \rho + \rho \vec{\nabla} \cdot \vec{u} = 0$

può essere resa adimensionale esprimendola nella forma:

$\mathrm{St} \; \frac{\partial \rho^*}{\partial t^*} + (\vec{u}^* \cdot \vec{\nabla}^*) \rho^* + \rho^* \vec{\nabla}^* \cdot \vec{u}^* = 0$

dove con il simbolo St si è indicato il gruppo adimensionale, detto numero di Struhal:

$\mathrm{St} = \frac{L_0}{U_0 \; t_0}$ .

[modifica] Le equazioni di conservazione della quantità di moto

Le equazioni di conservazione della quantità di moto possono essere adimensionalizzate nella forma:

$\mathrm{St} \left( \rho^* \frac{\partial \vec {u}^*}{\partial t^*} \right) + \rho^* \left( \vec{u}^* \cdot \vec{\nabla}^* \right) \vec{u}^* = - \frac{1}{\mathrm{Ru}} \vec{\nabla}^* p^* - \frac{1}{\mathrm{Fr}^2} \rho^* \vec k + \frac{1}{\mathrm{Re}} {\nabla^*}^2 \vec{u}^* + \frac{1}{3 \, \mathrm{Re}} \vec{\nabla}^* \left( \vec{\nabla}^* \cdot \vec{u}^* \right)$

dove i simboli indicano i seguenti gruppi adimensionali:

$\mathrm{Re} = \frac{U_0 \, L_0}{\nu} = \frac{\rho_0 \, U_0 \, L_0}{\mu}$ numero di Reynolds;
$\mathrm{Fr} = \sqrt {\frac{U^2_0}{g \, L_0}}$ numero di Froude;
$\mathrm{Ru} = \frac{\rho_0 \, U_0^2}{p_0}$ numero di Rouark, inverso del numero di Eulero.

Nel caso in cui la viscosità dinamica $\mu \,\!$ non sia costante, si troverà un valore di riferimento $\mu_0 \,\!$ e si utilizzerà all'interno dell'equazione il valore adimensionale $\mu^* \,\!$ .

[modifica] L'equazione di conservazione dell'energia termica

L'equazione di conservazione dell'energia termica, dato che quella dell'energia meccanica condurrebbe a gruppi adimensionali già visti per le equazioni della quantità di moto, viene espressa in funzione di termini adimensionali:

$\mathrm{St} \left( \rho^* \frac{\partial T^*}{\partial t^*} \right) + \rho^* \left( \vec{u}^* \cdot \vec{\nabla}^* \right) T^* = \mathrm{St} \, \frac{\mathrm{Ec}}{\mathrm{Ru}} \, \frac{\partial p^*}{\partial t^*} + \frac{\mathrm{Ec}}{\mathrm{Ru}} \left( \vec{u}^* \cdot \vec{\nabla}^* \right) p^* + \frac{\mathrm{Ec}}{\mathrm{Ru}} \Phi^* + \frac{1}{\mathrm{Pr} \, \mathrm{Re}} {\nabla^*}^2 T^* + \frac{\mathrm{Nu}}{\mathrm{Pr} \, \mathrm{Re}} \rho^* \dot{q}^*$

dove i simboli indicano i seguenti gruppi adimensionali:

$\mathrm{Ec} = \frac{U_0^2}{C_p \, T_0}$ numero di Eckert;
$\mathrm{Pr} = \frac{\mu \, C_p}{K} = \frac{\nu}{\alpha}$ numero di Prandtl, dove con ${\alpha} = \frac{K}{\rho \, C_p}$ si è indicato il coefficiente di diffusività termica;
$\mathrm{Nu} = - \frac{\lambda \, L_0}{K}$ numero di Nusselt, dove con $λ$ si è indicato il coefficiente di scambio termico.