Navier-Stokes-vergelijkingen
Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
De Navier-Stokes vergelijkingen, genoemd naar Claude-Louis Navier en George Stokes, zijn partiële differentiaalvergelijkingen die de stroming van fluïda beschrijven. Die vergelijkingen zeggen, dat een verandering in impuls van een fluïdumdeel - bijvoorbeeld als een vloeistof versnelt - altijd in evenwicht is met drukverschillen die er zijn en met de dissipatieve visceuze kracht die inwerkt op het fluïdum. Die visceuze kracht ontstaat door moleculaire interactie en bepaalt hoe "stroperig" (of hoe viskeus) een fluïdum is. De Navier-Stokes vergelijkingen zijn dus een dynamische uitdrukking van het krachtenevenwicht inwerkend op een willekeurig deel van een fluïdum. In feite drukken de vergelijkingen dus de wetten van Newton d(mv)/dt = F uit voor een eenheidsvolume. De vergelijkingen gelden algemeen, zolang de snelheid veel kleiner blijft dan de lichtsnelheid en zolang geen kwantumeffecten zoals supervloeibaarheid meespelen.
Inhoud |
[bewerk] De vergelijkingen
De meest algemene vorm van de Navier-Stokes vergelijking - afgeleid van de wet van behoud van impuls is:
- v is de vectoriële snelheid in m/s
- ρ is massadichtheid in kg/m³
- f is de krachtvector per volume die op het fluïdum werkt in N/m³, bij voorbeeld de zwaartekracht
is een tensor voor de veralgemeende druk in Pa, een factor die de viscositeit voorstelt en een maat is voor hoeveel afschuifkracht een laag bewegende stof uitoefent op een daarnaast bewegende andere laag.- ∇ is de nabla-operator met formeel de eenheid 1/m
In vectornotatie zien de Navier-Stokes vergelijkingen in hun meest algemene vorm er dan als volgt uit:
.
De vector 
beschrijft de kracht per volume dus in N/m³. Die wordt bij voorbeeld veroorzaakt door de zwaartekracht of de Corioliskracht voor het weer. De druk p is in Pa. De constanten λ en η zijn materiaalconstanten met betrekking tot de viscositeit in Pas.
[bewerk] Continuïteitsvergelijking
De wet van behoud van massa geeft:
[bewerk] Vereenvoudigingen
Voor een onsamendrukbaar fluïdum zoals een vloeistof bij niet al te hoge drukken of een gas ver beneden de geluidssnelheid is de massadichtheid constant. Dit geeft:
.
Zo valt dus de factor met λ + η weg.
De Navier-Stokes vergelijkingen gelden ook voor samendrukbare fluïda zoals gassen. Voor gassen ligt de viscositeit een factor 100 lager dan voor vloeistoffen, zodat in dat geval de viscositeit bij benadering te verwaarlozen is en de term met η wegvalt.
Gelijktijdige verwaarlozing van samendrukbaarheid en viscositeit geeft de stromingsvergelijkingen van Euler die dus gelden voor de stroming van weinig visceuze vloeistoffen of voor gassen ver onder de geluidssnelheid.
[bewerk] Toepassingen
In praktijk lost men de vergelijkingen van Navier-Stokes op met numerieke wiskunde: de zogenaamde CFD (Engels: Computational Fluid Dynamics). Dit gebeurt om het weer te voorspellen, brand te simuleren, vliegtuigen en auto's te ontwerpen en veel meer.
[bewerk] Millenniumprijsprobleem
Het "The Clay Mathematics Institute of Cambridge, Massachusetts (CMI)" heeft bij het ingaan van het nieuwe millennium in 2000 zeven "Prize Problems" opgesteld. Een wetenschappelijk panel selecteerde een zevental problemen op wiskundig gebied die al jaren op een oplossing lagen te wachten. De raad van directeuren van CMI heeft een fonds van $7 miljoen beschikbaar voor de oplossing van deze problemen, 1 miljoen dollar voor elk van de problemen. Een van de problemen is het vinden van een oplossing van de Navier-Stokes vergelijkingen. Voor een exacte beschrijving van het probleem zie de website van het Clay Mathematics Institute [1]
