Diseguaglianza di Bernoulli

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La disuguaglianza di Bernoulli afferma che:

(1+x)ⁿ ≥ 1 + nx

per ogni intero n ≥ 0 e ogni numero reale x ≥ -1. La disuguaglianza di Bernoulli è un passo cruciale nella dimostrazione di altre disuguaglianze.

Indice 1 Dimostrazione 2 Generalizzazioni 3 Disuguaglianze collegate 4 Voci correlate

[modifica] Dimostrazione

La disuguaglianza è banalmente vera per n = 0. Dimostriamola allora per induzione. Supponiamo che sia vera per n: allora dobbiamo dimostrare che è vera anche per n + 1. Moltiplichiamo entrambi i membri per (1 + x), fattore che è sempre maggiore o uguale a 0 per ipotesi. Otteniamo:

(1 + x)ⁿ⁺¹ ≥ (1 + nx)(1 + x)

(1 + x)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + x + nx + nx²

(1 + x)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + (1 + n)x + nx²

Poiché nx² ≥ 0, l'omissione di questo termine può solo rendere più forte la relazione di disuguaglianza, quindi:

(1 + x)ⁿ⁺¹ ≥ 1 + (1 + n)x + nx² ≥ 1 + (1 + n)x Q.E.D.

[modifica] Generalizzazioni

Se l'esponente n è pari, la disuguaglianza è valida per ogni numero reale x. Se n ≥ 2 e x ≥ −1 con x ≠ 0, allora vale la disuguaglianza stretta:

(1+x)ⁿ > 1 + nx

Vi sono anche delle versioni più forti della disuguaglianza di Bernoulli, per esempio:

per ogni n ≥0 e x ≥0.

La disuguaglianza può anche essere generalizzata ad un qualsiasi esponente reale r. Infatti, se x > −1, allora

per r ≤ 0 oppure r ≥ 1, e

per 0 ≤ r ≤ 1. Questa generalizzazione può essere dimostrata confrontando le derivate. Anche in questo caso, vale la disuguaglianza stretta se x ≠ 0 e r ≠ 0, 1.

[modifica] Disuguaglianze collegate

La seguente disuguaglianza fornisce una stima per eccesso della potenza r-esima di 1 + x. Per ogni numero reale x ed r > 0, vale

dove e = 2.718.... È possibile dimostrare questa disuguaglianza sfruttando il fatto che (1 + 1/k)^'k' < e.

[modifica] Voci correlate

• Bernoulli