אי שוויון ברנולי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

המחשה גרפית של אי-שוויון ברנולי

באנליזה מתמטית, אי שוויון ברנולי הוא אי שוויון יסודי ושימושי, המאפשר להעריך את הביטוי $\ (1+x)^n$ . אי השוויון קובע ש- $\ (1+x)^n\geq 1+nx$ לכל מספר שלם $\ n\geq 0$ ולכל מספר ממשי $\ x>-1$ . את אי-השוויון אפשר להוכיח באינדוקציה.

בעזרת אי-שוויון זה אפשר להראות שהסדרה $\ (1+\frac{1}{n})^n$ עולה בזמן שהסדרה $\ (1+\frac{1}{n})^{n+1}$ יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי, $\ e=2.718...$ , כגבולן המשותף.

[עריכה] תחולה

אי השוויון נכון לכל $\,n$ ממשי, ובלבד ש- $\ n\geq 1$ (את ההכללה אפשר להוכיח על ידי השוואת הנגזרות של שני האגפים). כאשר n טבעי זוגי, אי-השוויון נכון לכל x, וכאשר n אי-זוגי, הוא נכון לכל $\ -2<x$ (ואף מעט משמאל לנקודה 2-).

[עריכה] הוכחה באינדוקציה לאי שוויון ברנולי

בסיס האינדוקציה: $\ n=1$ ואכן מתקיים ש: $\ (1+x)^1\ge1+1 \cdot x$ כלומר: $\ 1 + x \ge 1 + x$ .

הנחת האינדוקציה: נניח את נכונות הטענה עבור $\ n=t$ כלשהוא, כלומר נניח ש: $\ (1+x)^t \ge 1 + tx$ , נשים לב לכך שמכוון ש $\ x > -1$ אז: $\ (x+1)>0$ , ולכן ניתן לכפול את שני אגפי האי שוויון של ההנחה ולקבל ש: $\ (1+x)\cdot(1+x)^t \ge (1+x)\cdot(1+tx)$ כלומר: $\ (1+x)^{t+1} \ge 1+tx+x+tx^2$

צעד האינדוקציה: צריך להוכיח את נכונות הטענה עבור $\ n=t+1$ כלומר צ"ל ש: $\ (1+x)^{t+1} \ge 1+(t+1)\cdot x$ , כלומר: $\ (1+x)^{t+1} \ge 1+tx+x$ , אבל מתוך הנחת האינדוקציה הראינו כי: $\ (1+x)^{t+1} \ge 1+tx+x+tx^2$ , הביטוי $\ tx^2$ חיובי (כי $\ x^2 \ge 0$ וגם $t \ge 0$ ) ולכן ממילא מתקיים ש: $\ (1+x)^{t+1} \ge 1+tx+x+tx^2 \ge 1+tx+x$ .