Continuazione analitica

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Domini analitici

Nell'ambito dell'analisi matematica, si parla di continuazione analitica quando ci si pone il problema di vedere se si può estendere il dominio di definizione di una funzione di variabile complessa e vedere se esiste una funzione analitica che coincida con la funzione originaria nel suo dominio originario. In generale nel prolungare analiticamente una funzione si possono ottenere anche funzioni polidrome, ma quando il prolungamento è possibile allora esso è anche unico.

Sia allora A un dominio entro cui una funzione $f 1 (z)$ è analitica e un dominio B entro cui un'altra funzione $f 2 (z)$ è analitica e coincide con la prima funzione nel dominio intersezione C. Possiamo allora dire che il prolungamento definisce un'unica funzione che assume i valori della prima funzione in A e della seconda in B e gli stessi valori in C.

Può capitare che le funzioni non assumano gli stessi valori in corrispondenza del dominio C; allora basti considerare il fatto che questo dominio sia costituito da due o più fogli distinti che costituiscono un rivestimento di un aperto del piano complesso C.

[modifica] Continuazione analitica a cerchi

Continuazione analitica a cerchi di convergenza fornita con la serie di Taylor.

Un esempio di continuazione analitica è quello di aggirare una singolarità isolata tramite lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione $f (z)$ . Se $z s$ è un punto di singolarità isolata, allora la funzione è sviluppabile in serie di Taylor:

$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_1)^n$

dove i coefficienti $a n$ sono dati da:

$a_n = \frac{f^{(n)}(z_1)}{n!}$

come in figura, il cerchio di convergenza di questa serie è quello di centro $z 1$ , in rosso in figura, fino a incontrare la singolarità $z s$ in blu in figura. Successivamente si può prendere un nuovo punto $z 2$ regolare per la funzione e descrivere questa con una serie di Taylor con un altro raggio di convergenza fino a incontrare nuovamente $z s$ e così via. La figura mostra chiaramente che è possibile aggirare la singolarità con un numero finito di sviluppi in serie di Taylor intorno alla singolarità.

Ovviamente tale sviluppo fallirebbe se si incontrano barriere di singolarità, cioè una infinità di punti di singolarità continui. Da notare che le funzioni $f 1 (z)$ calcolata in $z 1$ è formalmente diversa da quella $f 2 (z)$ calcolata in $z 2$ e così via. Ma nonostante ciò le funzioni sono identiche.