Beta termodinamica

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In meccanica statistica, si dice beta termodinamica una quantità numerica legata alla temperatura termodinamica di un sistema. La beta termodinamica può essere vista come una connessione tra l'interpretazione statistica di un sistema e la termodinamica.

Indice

1 Dettagli
- 1.1 Interpretazione statistica
- 1.2 Collegamento con la visione termodinamica
2 Voci correlate

[modifica] Dettagli

[modifica] Interpretazione statistica

Dal punto di vista statistico, β è una quantità numerica che lega due sistemi macroscopici in equilibrio termodinamico. L'esatta formulazione è come segue. Si considerino due sistemi, 1 e 2, in contatto termico, con energie rispettivamente E₁ e E₂. Si assume E₁ + E₂ = costante E. Il numero di microstati di ciascun sistema sarà denotato da Ω₁ e Ω₂. Secondo i nostri assunti Ω_i dipende solo da E_i. Così il numero di microstati per il sistema combinato è

$\Omega = \Omega_1 (E_1) \Omega_2 (E_2) = \Omega_1 (E_1) \Omega_2 (E-E_1) . \,$

β sarà derivata dalla fondamentale assunzione che segue:

Quando il sistema combinato raggiunge l'equilibrio termodinamico, il numero Ω è massimo.

(In altre parole, il sistema ricerca naturalmente il numero massimo di microstati.) Pertanto, all'equilibrio:

$\frac{d}{d E_1} \Omega = \Omega_2 (E_2) \frac{d}{d E_1} \Omega_1 (E_1) + \Omega_1 (E_1) \frac{d}{d E_2} \Omega_2 (E_2) \cdot \frac{d E_2}{d E_1} = 0.$

Ma E₁ + E₂ = E implica

$\frac{d E_2}{d E_1} = -1.$

Pertanto

$\Omega_2 (E_2) \frac{d}{d E_1} \Omega_1 (E_1) - \Omega_1 (E_1) \frac{d}{d E_2} \Omega_2 (E_2) = 0$

La relazione sopra dimostra la definizione di β:

$\beta \equiv \frac{d \ln \Omega}{ d E}.$

[modifica] Collegamento con la visione termodinamica

D'altro canto, quando due sistemi sono in equilibrio, hanno la stessa temperatura termodinamica T. Così intuitivamente ci si può aspettare che β sia legata a T in qualche modo. Questo legame è dato dalla formula

$S = k \ln \Omega, \,$