Armoniche sferiche

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Dalla'alto verso il basso: da l=0 a 4
Da sinistra a destra: da m=0 a ±4 (armoniche non immaginarie)
Le due armoniche sferiche non immaginarie che sono combinazioni lineari di Y_l,m e Y_l,-m sono equivalenti tra di loro ma ruotate di 90 gradi attorno all'asse z.

In matematica, le armoniche sferiche sono un insieme ortogonale di soluzioni dell'equazione di Laplace in coordinate sferiche. Le armoniche sferiche sono importanti in molti campi teorici e applicativi, in particolare in meccanica quantistica, nel caso di moti centrali (per esempio nel calcolo delle configurazioni elettroniche di un atomo), e nell'approssimazione del campo gravitazionale terrestre.

Le armoniche sferiche sono funzioni complesse continue limitate delle variabili angolari $θ$ e $\varphi$ .

Le armoniche sferiche rappresentano le soluzioni dell'equazione differenziale alle derivate parziali:

$\frac{\partial^2{Y(\theta, \varphi)}}{\partial{\theta}^2} +\cot(\theta) \frac{\partial{Y(\theta, \varphi)}}{\partial{\theta}} + \frac{1}{\sin^2{\theta}} \frac{\partial^2{Y(\theta,\varphi)}}{\partial{\varphi}^2} + l(l+1) Y(\theta,\varphi) =0 \qquad (1)$

con la condizione al contorno

$Y(\theta, \varphi+2\pi)= Y(\theta, \varphi) \qquad (2)$

dove $l$ è un intero positivo. Questa rappresenta un classico problema fisico a simmetria sferica, trattato nelle coordinate polari $r , \theta, \varphi$ . Questa equazione è facilmente risolubile tramite il metodo della separazione delle variabili, cioè, supponendo che la soluzione sia una funzione data dal prodotto di due funzioni indipendenti

$Y(\theta,\phi)=\Theta(\theta)\Phi(\varphi) \qquad (3)$

da cui, sostituendo la (3) nella (1) e moltiplicando per $\frac{\sin^2{\theta}}{\Theta\Phi}$ si ottiene:

$\sin^2{\theta}\frac{\Theta^{''}}{\Theta}+ \sin(\theta)cos(\theta)\frac{\Theta^{'}}{\Theta}+ l(l+1)\sin^2(\theta)+\frac{\Phi^{''}}{\Phi}=0 \qquad(4)$

dalla quale si vede che deve essere

$\sin^2{\theta}\frac{\Theta^{''}}{\Theta}+ \sin(\theta)cos(\theta)\frac{\Theta^{'}}{\Theta}+ l(l+1)\sin^2(\theta)=-\frac{\Phi^{''}}{\Phi}=costante \qquad(5)$ .

Ricordando poi la condizione di periodicità (2), la costante di separazione dovrà essere pari a $- m 2$ con m numero intero. Si avrà dunque come soluzione della parte in $Φ$ :

$\Phi(\varphi)= e^{\pm im\varphi} \qquad(6)$ ;

mentre si vede che la parte in $Θ(θ)$ deve soddisfare la:

$\sin^2(\theta)\Theta^{''} + \sin(\theta)\cos(\theta)\Theta^{'}+{(l(l+1)\sin^2(\theta)-m^2)}\Theta=0 \qquad(7)$ .

Per risolvere quest'ultima converrà fare un cambiamento di variabile e sostituire $cos(θ) = x$ e si ritrova:

$(1-x^2)\frac{d^2\Theta}{dx^2}-2x \frac{d\Theta}{dx}+{(l(l+1)-\frac{m^2}{1-x^2})}\Theta=0 \qquad (8)$

chiamata equazione associata di Legendre. Le soluzioni di questa sono di tipo polinomiale (avendo posto l intero positivo) e sono una generalizzazione dei polinomi di Legendre che sono ottenibili per $m = 0$ . Tali soluzioni hanno la forma:

$P^m_l(x)=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^mP_l(x)}{dx^m} \qquad(9)$

dove $P l (x)$ sono appunto i Polinomi di Legendre. Le soluzioni della (1) saranno dunque proporzionali al prodotto della (9) per la (6) tramite una opportuna normalizzazione. In particolare si definiscono armoniche Sferiche o funzioni Sferiche le funzioni

$Y^m_l (\theta,\varphi)= {(-1)^m} \left\{\frac{2l+1}{4\pi} \frac{(l-\mid m \mid)!}{(l+\mid m \mid)!}\right\}^{\frac{1}{2}} P^{\mid m \mid}_l(\cos\theta) e^{im\varphi} \qquad (10)$

con la condizione $\mid m \mid\leq l$

Indice

1 Teorema di addizione delle armoniche sferiche
2 Proprietà delle armoniche sferiche
3 Le prime armoniche sferiche
4 Meccanica quantistica
5 Cartografia
6 Voci correlate
7 Collegamenti esterni
8 Bibliografia

[modifica] Teorema di addizione delle armoniche sferiche

[modifica] Proprietà delle armoniche sferiche

Sia $\vec \hat n$ un versore, quindi un oggetto geometrico individuato dalle coordinate $(\theta,\varphi)$

Complesso coniugato

$\left[Y_l^m(\vec \hat n)\right]^\star = (-1)^m Y_l^{-m}(\vec\hat n)$

Parità totale

Sotto inversione di tutte le coordinate $x\to -x, y\to -y, z\to -z$ ovvero $\theta\to \pi-\theta, \varphi\to\varphi+\pi$ le armoniche sferiche sono dispari o pari a seconda di $l$ :

$P Y_l^m(\theta,\varphi)=Y_l^m(\pi-\theta, \varphi+\pi)=(-1)^l Y_l^m(\theta,\varphi)$

Parità nel piano $x y$

Sotto inversione delle sole coordinate $x, y$ le armoniche sferiche sono pari o dispari a seconda di $m$ :

$P_{xy} Y_l^m(\theta,\varphi)=Y_l^m(\theta, \varphi+\pi)=(-1)^m Y_l^m(\theta,\varphi)$

Parità lungo $z$

Sotto inversione della sola $z$ , $z\to -z$ :

$P_z Y Y_l^m(\theta,\varphi)=Y_l^m(\pi-\theta, \varphi)=(-1)^{l+m} Y_l^m(\theta,\varphi)$

poiché $P_z=P\,P_{xy}$

[modifica] Le prime armoniche sferiche

Consulta la tavola delle armoniche sferiche, per l = 0, 1, ..., 10 ed m = -l, ..., -1, 0 ,1 ,..., l.

[modifica] Meccanica quantistica

Le armoniche sferiche sono importanti in meccanica quantistica perché sono autofunzioni simultanee degli operatori momento angolare totale $L 2$ e della sua componente lungo $z$ :

$L^2 Y_l^m = {l(l+1)}\hslash^2 Y_l^m$

$L_z Y_l^m = m\hslash Y_l^m$

Inoltre poiché la parte angolare del laplaciano può essere scritta in funzione di $L$ :

$\nabla^2_\Omega = \frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}=-\frac{1}{\hslash^2 r^2} L^2$

allora fattorizzando la funzione d'onda di un sistema a potenziale a simmetria sferica in parte radiare ed angolare risulta che quest'ultima è una armonica sferica.

Possiamo dire che fisicamente(in Meccanica Quantistica) le armoniche sferiche rappresentano l'ampiezza di probabilità che un sistema caratterizzato dai valori "l" e "m" (numeri quantici del momento angolare orbitale) si trovi in una posizione la cui direzione è definita dai valori di $\theta,\varphi$ (angoli delle coordinate sferiche), definendo nei diversi formalismi: $Y_{l,m}( \theta, \varphi) \equiv < \theta, \varphi | l,m >$