Сферические функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Сферические функции представляют собой угловую часть семейства ортогональных решений уравнения Лапласа, записанную в сферических координатах. Они имеют большое значение в теории дифференциальных уравнений в частных производных и теоретической физике, в частности в задачах расчёта электронных орбиталей в атоме, гравитационного поля геоида, магнитного поля планет и интенсивности реликтового излучения. В компьютерной 3D-графике сферические функции используются при расчёте отраженного света и распознавании трёхмерных изображений.

[править] Определение

Вещественные сферические функции Y_km, k=0…4 (сверху вниз), m=0…4 (слева направо). Функции отрицательного порядка Y_k-m повёрнуты вокруг оси Z на 90/m градусов относительно функций положительного порядка.

Сферические функции являются собственными функциями оператора Лапласа в сферической системе координат (обозначение $Y l m (θ,φ)$ ). Они образуют ортонормированную систему в пространстве функций на двумерной сфере:

$\langle Y_{l m}; Y_{l m} \rangle = \iint |Y_{l m}|^2 \sin{\theta} d\theta d\phi = 1$

$\langle Y_{l m}; Y_{l' m'} \rangle = \int\limits_0^{2 \pi} \int\limits_0^{\pi} Y^*_{l' m'} Y_{l m} \sin{\theta} d\theta d\phi = \delta_{l l'} \delta_{m m'}$ ,

где ^* обозначает комплексное сопряжение, $δ l l'$ — дельта Кронекера.

Сферические функции имеют вид

Y l m = Φ m (φ)Θ l m (θ)

где

$\Phi_m(\phi) = \frac{1}{2 \pi} e^{i m \phi}$ ,

а функции $Θ l m (θ)$ являются решениями уравнения

$\frac{1}{\sin{\theta}} \frac{d}{d\theta}\left(\sin{\theta} \frac{d \Theta_{l m}}{d\theta}\right) - \frac{m^2}{\sin^2{\theta}} \Theta_{l m} + l(l+1) \Theta_{l m} = 0$

и имеют вид

$\Theta_{l m} = (-1)^m i^l \sqrt{\frac{2l+1}{2} \frac{(l-m)!}{(l+m)!}} P^m_l (cos \theta)$

Здесь $P^m_l (cos \theta)$ — полиномы Лежандра, а $m!$ — m-факториал.

[править] Литература

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5 — математические дополнения