Differenciálegyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

A differenciálegyenletek olyan egyenletek a matematikában (közelebbről a matematikai analízisben), melyekben az ismeretlen kifejezés egy differenciálható függvény, és az egyenlet a függvény és ennek deriváltja között teremt kapcsolatot. A problémák differenciálegyenletben való megfogalmazása a fizikában, mérnöki tudományokban, a közgazdaságtanban és még számos tudományban alapvető szerepet töltenek be.

Egy rugóval rögzített test elmozdulását az időben (ha az energiaveszteségtől eltekintünk) egy $\mbox{ }_{\ddot{x}(t)=-x(t)}$ típusú egyenlet írja le. Ennek megoldása például az $\mbox{ }_{x=\sin(t)\,}$ és a $\mbox{ }_{x=\cos(t)\,}$ függvény is.

Hogy mennyire fontosak az alkalmazásaikban a differenciálegyenletek, jól példázza Newton második törvénye. Ez nem mond ki mást, mint, hogy az elmozdulás idő szerinti második deriváltja egyenesen arányos az erővel. Ha az erő minden pillanatban csak a test helyzetétől függ, akkor ez a differenciálegyenlet így írható:

$\ddot{x}(t)=mx(t)$

ahol az ismeretlen függvény az x(t), ennek t szerinti második deriváltja az $\mbox{ }_{\ddot{x}(t)}$ .

A differenciálegyenletek általában is akkor jutnak szerephez, amikor egy folyamat nem diszkrét lépésekben zajlik le (mint mondjuk egy sakkjátszma), hanem az időben folyamatosan változnak az állapotjelzők értékei. Ilyen esetekben vagy megfigyelések utalnak egy mennyiség és megváltozásának kapcsolatára, vagy feltételeznek egy elméleti relációt a jellemzők között. Például a természetben populációk növekedésének üteme általában függ magától a populáció nagyságától – ez egy közvetlenül a tapasztalatból származó modell. A bolygómozgás differenciálegyenletei viszont a newtoni mechanikából eredeztethetők.

Általában egy (közönséges) differenciálegyenlet megoldását az y=y(x) alakban írjuk fel (szóban: y az x függvénye). Az egyenletben az y(x) jelölés helyett inkább csak az y-t használjuk. Feltesszük azonban, hogy y egy valós intervallumon értelmezett, legalább annyiszor differenciálható függvény, ahanyadik deriváltja szerepel az egyenletben. Például az

$y'=\frac{1}{2y}\,$

egy megoldása a (0,+∞)-en értelmezett (és ott differenciálható) $\mbox{ }_{y(x)=\sqrt{x}\,}$ függvény, egy másik a (2,+∞)-n értelmezett $\mbox{ }_{y(x)=\sqrt{x-2}\,}$ függvény.

Az egyenleteket kielégítő megoldásfüggvények csak a legegyszerűbb esetekben fejezhető ki zárt alakban. Sok esetben szükségtelen is kiszámolni a konkrét megoldásokat, sokkal többet tudhatunk meg a folyamatokról, ha a megoldások kapcsolatait vizsgáljuk. Más esetben szükséges kiszámítani a megoldás konkrét értékeit. Mindkét feladatra számítógépes módszereket használnak, az első inkább kvalitatív, míg a második kvantitatív eredményt szolgáltat.

Tartalomjegyzék

1 Differenciálegyenlet típusok
2 Közönséges differenciálegyenletek típusai
3 Közönséges, lineáris differenciálegyenletek típusai
4 Differenciálegyenletek megoldása
5 Megoldási módszerek
6 Források

[szerkesztés] Differenciálegyenlet típusok

Közönséges differenciálegyenlet. Ebben az esetben az egyenlet egy egyváltozós differenciálható függvényre van felírva. Például:

$y'(x)=\sin(xy(x))\quad\quad (y(x)=?)$

$x''(t)=-x(t)\quad\quad (x(t)=?)$

az utóbbi a lineáris oszcillátor egyenlete (Pl. az ideális rugó, ideális rezgőkör, stb.).

Parciális differenciálegyenlet. Ekkor az ismeretlen függvény többváltozós és az egyenletben szereplő deriváltjai parciális deriváltak. Például:

$\frac{\partial z(x,y)}{\partial x}+x\frac{\partial z(x,y)}{\partial y}=x^7\cdot y^4\quad\quad (z(x,y)=?)$

$\partial_tS(t,x) +H(t,x,\partial_x S(t,x))+\frac{\sigma^2}{2}\partial_{xx}^2 S(t,x)=0\quad\quad (S(t,x)=?)$

az utóbbi a stochasztikus Hamilton–Jacobi–Bellman-egyenlet.

[szerkesztés] Közönséges differenciálegyenletek típusai

n-ed rendűnek nevezzük a differenciálegyenletet, ha a benne szereplő magasabbrendű deriváltak között az n-edik a legnagyobb. Például:

$y'(x)=\mathrm{sh}(x)+y^2(x)\,$ elsőrendű,

$y''(x)+y^3(x)y'(x)=\mathrm{tg}(x)\,$ másodrendű,

$y^{(4)}+7y=0\,$ negyedrendű.

lineáris egy differenciálegyenlet, ha y (az ismeretlen függvény) és deriváltjai legfeljebb az első hatványon szerepelnek és nem szerepel az egyenletben ilyen tényezők szorzata. Példa:

$\sin(x)y'(x)+x^2y(x)+\sqrt{x}=0\,$ elsőrendű lineáris,

$e^xy''(x)+(x^4-x)y'(x)-\frac{x+1}{x^3}y(x)+\cos(x)=0\,$ másodrendű lineáris

nemlineáris, ha nemlineáris. Példa:

$\mathrm{ctg}(x)y''(x)+x^2y(x)y'(x)=8\,$ ,

$y''(x)=e^{\cos(xy^2(x))y(x)}\,$

[szerkesztés] Bernoulli-féle differenciálegyenlet

Bővebben: Bernoulli-féle differenciálegyenlet

[szerkesztés] Riccati-féle differenciálegyenlet

Bővebben: Riccati-féle differenciálegyenlet

[szerkesztés] Euler-féle lineáris másodrendű differenciálegyenlet

Bővebben: Euler-féle differenciálegyenlet

[szerkesztés] Közönséges, lineáris differenciálegyenletek típusai

homogén lineáris differenciálegyenlet (függő változóban homogén), ha lineáris, de nincs benne csak az x-től függő vagy konstans tag. Példa:

$\sin(x)y'(x)-e^xy(x)=0\,$ elsőrendű homogén lineáris,

$x^3y''(x)+\frac{1}{x}y(x)=0\,$ másodrendű homogén lineáris

inhomogén lineáris differenciálegyenlet, ha van benne konstans, vagy x-től függő tag. Példa.

$\sin(x)y'(x)-e^xy(x)=\mathrm{tg}(x)\,$ elsőrendű inhomogén lineáris,

$x^3y''(x)+\frac{1}{x}y(x)=x^2+5\,$ másodrendű inhomogén lineáris

állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet, ha az y és összes deriváltja együtthatója konstans. Példa.

$3y'-7y=0\,$ elsőrendű állandó együtthatós homogén lineáris,

$9y''(x)+4y'(x)=5x^{12}\,$ másodrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris.

[szerkesztés] Differenciálegyenletek megoldása

Differenciálegyenletet megoldani annyit tesz, mint meghatározni azokat a függvényeket, melyek a deriváltjaikkal együtt azonosan kielégítik az adott differenciálegyenletet. Ezeket a függvényeket tekintjük a differenciálegyenlet megoldásainak. Mivel a differenciálegyenletet általában integrálással oldjuk meg, a megoldást szokás a differenciálegyenlet integráljának is nevezni.

Az n-ed rendű közönséges differenciálegyenlet általános megoldása az a függvény, mely pontosan n számú egymástól független állandót (paramétert) tartalmaz, és azonosan kielégíti az adott differenciálegyenletet.

Az n-ed rendű közönséges differenciálegyenlet partikuláris megoldása az a függvény, mely legfeljebb n-1 számú egymástól független állandót (paramétert) tartalmaz, és azonosan kielégíti az adott differenciálegyenletet. Speciális esetben egyetlen paramétert sem tartalmaz a partikuláris megoldás. Általában (de nem mindig) az általános megoldás tartalmazza az összes partikuláris megoldást is, melyet úgy kaphatunk, hogy a paramétereknek konkrét értékeket adunk. A differenciálegyenlet partikuláris megoldásának kiválasztásához feltételeket kell megadni. Egy n-ed rendű közönséges differenciálegyenlethez meg lehet adni a független változó egy adott értékéhez tartozó függvényértéket, az első, második, ..., (n-1)-edik derivált értékét. Ezeket nevezzük kezdeti feltételnek. Amennyiben mind az n számú adatot megadjuk, a partikuláris megoldás nem fog paramétert tartalmazni.

Az n-ed rendű közönséges differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását úgy is ki lehet választani, hogy legfeljebb n számú összetartozó (t, x(t)) értéket adunk meg, amit az x(t) partikuláris megoldásnak ki kell elégítenie. Ezeket nevezzük kerületi-, vagy határfeltételeknek. Ha pontosan n számú kerületi feltételt adunk meg, a partikuláris megoldásban nem lesz paraméter.

Az elsőrendű $F (x, y, y') = 0$ közönséges differenciálegyenlet $φ(x, y, c) = 0$ általános megoldása az x, y síkban egy egyparaméteres görbesereget határoz meg. Az itt megadható $y 1 = y (x)$ kezdeti feltétel geometriailag egy $P 1 (x 1; y 1)$ pont megadását jelenti, és így az egy kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldás a görbeseregnek azt a görbéjét jeleni, amely áthalad az adott $P 1$ ponton.

A másodrendű $F (x, y, y', y'') = 0$ közönséges differenciálegyenlet $φ(x, y, A, B) = 0$ általános megoldása az x, y síkban egy kétparaméteres görbesereget határoz meg. Ebben az esetben a kezdeti feltétel geometriai jelentése egy $P 1 (x 1; y 1)$ pont és azon pontban a partikuláris megoldás érintője.

[szerkesztés] Megoldási módszerek

A változók szeparálása – az y'=F(x,y) közönséges esetben akkor beszélünk a szeparábilis vagy szétválasztható változójú egyenletről, ha F előáll F(x,y)=f(x)g(y) szorzat alakban. Parciális differenciálegyenlet esetén a változók szeparálásán azt értjük, hogy a z=z(x,y) megoldásfüggvényt a z=f(x)g(y) alakban keressük – ekkor az egyenlet szeparábilis megoldásait kapjuk meg.
Egzakt differenciálegyenlet – akkor mondjuk az elsőrendű egyenletről, hogy egzakt, ha P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0 alakú, és ∂P/(∂y)=∂Q/(∂x). Ekkor az implicit általános megoldás Φ(x,y)=konst., akkor és csak akkor, ha ∂Φ/(∂x)=P és ∂Φ/(∂y)=Q.