פאזור (אלקטרוניקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

פאזור הוא קבוע מרוכב המייצג את המשרעת (אמפליטודה) המרוכבת (גודל ופאזה) של פונקציה סינוסואידלית של הזמן, המיוצגת בדרך כלל על ידי אקספוננט מרוכב. משתמשים בפאזורים בהנדסת חשמל כדי לפשט חישובים בהם מופיעות סינוסואידות, בכך שהם יכולים להפוך בעיה הכוללת משוואה דיפרנציאלית לבעיה אלגברית.

[עריכה] מבוא

סינוסואידה (או צורת גל סינוסית) מוגדרת להיות פונקציה מהצורה: $y(t)=A\cos{(\omega t+\phi)}\,\!$
כאשר:

$y(t) \!\$ היא הסינוסואידה המשתנה בזמן

$\phi \!\$ הוא קבוע (ברדיאנים) הידוע כפאזה של הסינוסואידה

$A \!\$ הוא קבוע הידוע כאמפליטודה של הסינוסואידה, ומהווה את השיא (הערך הגדול ביותר) של הפונקציה

$\omega \!\$ היא התדירות הזוויתית הנתונה על ידי $\omega = 2\pi f \!\$ כאשר $f \!\$ היא התדירות

$t \!\$ הוא הזמן

ניתן לכתוב את הביטוי לעיל בצורה השקולה הבאה: $y(t)=\Re \Big(A\big(\cos{(\omega{}t+\phi)}+j\sin{(\omega t+\phi)}\big)\Big)\,\!$
כאשר:

$j \!\$ היא היחידה המדומה $\sqrt{-1}$ (לא נהוג להשתמש בסימון $i \!\$ בהנדסת חשמל מכיוון שהוא משמש לייצוג הזרם המשתנה בזמן)

$\Re (z)$ נותן את החלק הממשי של המספר המרוכב $z \!\$

באופן שקול, לפי נוסחת אוילר:

$y(t)=\Re(Ae^{j(\omega{}t+\phi)})\,\!$

$y(t)=\Re(Ae^{j\phi}e^{j\omega{}t})\,\!$

מגדירים את $Y \!\$ , הצגת הפאזור של הסינוסואידה $y(t) \!\$ , באופן הבא: $Y = Ae^{j \phi}\,$
כך ש- $y(t)=\Re(Ye^{j\omega{}t})\,\!$

לכן, הפאזור $Y \!\$ הוא קבוע מרוכב שמכיל בתוכו את האמפליטודה והפאזה של הסינוסואידה. כדי לפשט את הסימון, מציינים לעתים קרובות את הפאזור בסימון זווית: $Y = A \angle \phi \,$

בהנדסת חשמל, הזווית מיוצגת בדרך כלל במעלות במקום ברדיאנים והגודל מיוצג לעתים על ידי ערך שורש הממוצע הריבועי (rms) במקום על ידי השיא של הסינוסואידה.

היתרון בחשבון פאזורי הוא שהרבה יותר נוח לעבוד עם מספרים מרוכבים מאשר עם פונקציות טריגונומטריות. תוך ניצול העובדה שפונקציה טריגונומטרית ניתנת לייצוג על ידי החלק הממשי של גודל מרוכב, יעיל לבצע את הפעולות המתמטיות הנדרשות על הגודל המרוכב ורק בסוף לקחת את החלק הממשי שלו כדי לקבל את התוצאה הרצויה.

[עריכה] חשבון פאזורי

כאשר סינוסואידה מיוצגת על ידי פאזור, משוואות דיפרנציאליות הופכות למשוואות אלגבריות. תוצאה זו נובעת מהעובדה שהאקספוננט המרוכב הוא פונקציה עצמית של פעולת הנגזרת:

$\frac{d}{dt}(e^{j \omega t}) = j \omega e^{j \omega t}$

כלומר רק האמפליטודה המרוכבת משתנה על ידי הגזירה. לקיחת החלק הממשי של שני הצדדים של המשוואה שלעיל נותנת את התוצאה הידועה:

$\frac{d}{dt} \cos{\omega t} = - \omega \sin{\omega t}\,$

לכן, נגזרת זמנית של סינוסואידה הופכת, בייצוג פאזורי, להכפלה בתדירות המרוכבת. באופן דומה, אינטגרציה של פאזור שקולה לחלוקה באותה תדירות מרוכבת.

לדוגמה, המשוואה הדיפרנציאלית הבאה מתארת את המתח על הקבל במעגל RC:

$\frac{dv_C}{dt} + \frac{1}{RC}v_C = \frac{1}{RC}v_S$

כאשר מקור המתח במעגל הוא סינוסואידלי: $v_S(t) = V_P \cos(\omega t + \phi)\,$

המשוואה הדיפרנציאלית הופכת בייצוג פאזורי:

$j \omega V_c + \frac{1}{RC} V_c = \frac{1}{RC}V_s$

כאשר $V_s = V_P e^{j \phi}\,$

פתירת המשוואה עבור פאזור המתח על הקבל נותן:

$V_c = \frac{1}{1 + j \omega RC} V_s$

כדי להפוך את פאזור המתח על הקבל בחזרה לסינוסואידה, יש לבטא את כל המספרים המרוכבים בצורה קוטבית:

$V_c = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}e^{j \theta(\omega)} V_s$

כאשר $\theta(\omega) = -\arctan(\omega RC)\,$

מכאן שהפתרון המתקבל הוא:

$v_C(t) = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}} V_P \cos(\omega t + \phi + \theta(\omega))$

[עריכה] ניתוח מעגלים

בעזרת פאזורים, השיטות לפתרון מעגלי זרם ישר (DC) יכולים לשמש גם לפתרון מעגלי זרם חילופין (AC). להלן מספר חוקים בסיסיים:

חוק אוהם לנגדים: לנגד אין השהיות בזמן ולכן לא משנה את הפאזה של האות, מכאן ש- $V=IR \!\$ עדיין תקף.
חוק אוהם לנגדים, קבלים וסלילים: $V=IZ \!\$ כאשר $Z \!\$ הוא האימפדנס המרוכב.
במעגל AC קיים רכיב הספק אקטיבי $P \!\$ , שמציין את ההספק הממוצע הנצרך על ידי המעגל, ורכיב הספק ריאקטיבי $Q \!\$ , שמציין העברת הספק בין רכיבי המעגל. ניתן להגדיר גם את ההספק המרוכב $S=P+jQ \!\$ . חוק ההספק במעגל AC המבוטא בפאזורים הוא $S=VI^* \!\$ (כאשר $I^* \!\$ הוא הצמוד המרוכב של $I \!\$ ).
חוקי קירכהוף עובדים עם פאזורים מרוכבים.

מהנאמר לעיל ניתן ליישם את השיטות לניתוח רשת נגדים בעזרת פאזורים כדי לנתח מעגלי AC בעלי תדר יחיד הכוללים נגדים, קבלים וסלילים. מעגלים בעלי ריבוי תדרים ומעגלים עם צורות גל שונות ניתן לנתח על ידי פירוק כל צורות הגל לרכיבים בעלי צורות גל סינוסיות שלכל רכיב יש תדר, גודל ופאזה משלו, ואז ניתוח כל תדר בנפרד למציאת המתח והזרם. עם זאת שיטה זו לא עובדת להספק כי ההספק מבוסס על מכפלת המתח בזרם.

[עריכה] ראו גם

קטגוריה: אלקטרוניקה

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

פאזור (אלקטרוניקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] מבוא

[עריכה] חשבון פאזורי

[עריכה] ניתוח מעגלים

[עריכה] ראו גם

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות