סדרה הנדסית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, סדרה הנדסית היא סדרה של מספרים, כך שהמנה של כל שני איברים עוקבים (או היחס בין כל שני איברים סמוכים) היא קבועה. במלים אחרות, ניתן לחשב כל איבר על ידי הכפלת האיבר הקודם לו במנת הסדרה. היא נקראת סדרה הנדסית משום שכל איבר בה הוא ממוצע הנדסי של האיברים הסמוכים לו.

סדרה הנדסית מוגדרת על ידי שני מרכיבים: האיבר הראשון שלה ומנת איבריה. משני נתונים אלו ניתן לדעת את ערכו של כל איבר בסדרה. אם $\ a_1$ הוא האיבר הראשון ו־ $\ q$ היא מנת הסדרה, האיבר ה־ $\ n$ -י נתון על ידי הנוסחה $\ a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ . כמו כן, ניתן לחשב את סכום הסדרה עד האיבר ה־ $\ n$ -י (כולל) בעזרת הנוסחה $\ S_n = \frac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}$ .

דוגמה לסדרה הנדסית שמנתה היא 3 והאיבר הראשון שלה הוא 2: 162 ,54, 18, 6, 2. מספר איברי הסדרה הוא 5. מכאן שסכום הסדרה הוא $\ S_n = \frac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}= \frac{2\cdot(3^5-1)}{3-1}= \frac{2\cdot242}{2}=242$

מנוסחת סכום הסדרה ההנדסית ניתן לראות שאם $\ |q|<1$ , גם אם נסכום אינסוף אברים, סכום הסדרה יהיה סופי, כיווון שבגבול $\ n \to \infty$ האיבר $\ q^n$ שואף לאפס. לכן, סכום הטור האינסופי הוא $S_\infty=a_1\frac{\overbrace {q^n}^0-1}{q-1} =\frac{a_1}{1-q}$ . סדרות שסכומן סופי נקראות טורים מתכנסים, ויש להן חשיבות גדולה במתמטיקה. בפרט, התכנסות סכומה של הסדרה ההנדסית היא בעלת חשיבות רבה שכן ישנם מבחני התכנסות לטורים שמתבססים על היכולת להשוות טור אינסופי שהתכנסותו נבדקת לטור הנדסי.