מבחני התכנסות לטורים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

במתמטיקה, ישנם מבחנים שמטרתם לבדוק האם טור אינסופי מתכנס למספר סופי. מבחנים אלו אינם מראים מהו סכום הטור, אלא רק מכריעים בשאלת ההתכנסות. ההגדרה הפורמלית להתכנסות טור היא שסדרת הסכומים החלקיים מתכנסת.

חשוב לציין שעל התכנסות הטור משפיע רק זנבו, כלומר ניתן להוריד מספר סופי של איברים מתחילת הטור וזאת מבלי לשנות את התכנסותו (אך תוך שינוי של הסכום שאליו יתכנס). על כן אין צורך שדרישות המבחנים יתקיימו עבור כל אברי הטור, אלא רק עבור כל האיברים החל ממקום מסוים.

[עריכה] טורים חיוביים

טורים חיוביים, כלומר טורים שכל אבריהם לא שליליים, ניחנים בתכונה החשובה שסדרת הסכומים החלקיים שלהם היא סדרה מונוטונית עולה. מכיוון שכל סדרה מונוטונית עולה מתכנסת אם היא חסומה, כל שצריך להראות הוא שהסכומים החלקיים של הטור חסומים. עובדה זו מהווה בסיס למספר מבחנים.

[עריכה] מבחן ההשוואה

מבחן ההשוואה הוא הכלי הבסיסי לבחינת התכנסות טורים, ומסתמך על השוואת הטור הנבדק לטור אחר, שכבר ידוע עליו אם הוא מתבדר או מתכנס.

[עריכה] גרסה ראשונה

יהיו $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n$ שני טורים אינסופיים. אם מתקיים החל ממקום מסוים $0\le a_n \le b_n$ , אז:

אם $\sum_{n=1}^\infty b_n$ מתכנס, גם $\sum_{n=1}^\infty a_n$ מתכנס.
אם $\sum_{n=1}^\infty a_n$ מתבדר, גם $\sum_{n=1}^\infty b_n$ מתבדר.

[עריכה] גרסה שנייה

יהיו $\sum_{n=1}^\infty a_n , \sum_{n=1}^\infty b_n$ שני טורים חיוביים אינסופיים. יהי $\lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}=L$ . אז:

אם $0<L<\infty$ אז הטורים מתכנסים ומתבדרים יחדיו.
אם $L = 0$ , המצב זהה לזה של הגרסה הראשונה.
אם $L=\infty$ , המצב זהה לזה של הגרסה הראשונה, בהיפוך תפקידי הסדרות.

נשים לב שבכך מיצינו את כל האפשרויות לגבול זה, כי שתי הסדרות חיוביות.

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] מבחן השורש של קושי

[עריכה] גרסה ראשונה

יהי $\sum_{n=1}^\infty a_n$ טור חיובי אינסופי.

אם כמעט לכל אברי הסדרה $\sqrt[n]{a_n} \le q$ עבור $\!\, q<1$ אז הטור מתכנס.
אם למספר אינסופי של אברי הסדרה, $\sqrt[n]{a_n} \ge 1$ אז הטור מתבדר.

[עריכה] גרסה שנייה

יהי $\sum_{n=1}^\infty a_n$ טור חיובי אינסופי. נסמן $\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_n}=q$ .

אם $\!\, q<1$ הטור מתכנס.
אם $\!\, q>1$ הטור מתבדר.
אם $\!\, q=1$ המבחן אינו מספק מידע על התכנסות או התבדרות הטור.

הגרסה השנייה של המבחן חלשה יותר מהגרסה הראשונה - קיימים טורים שעל פי הגרסה הראשונה ניתן להוכיח את התבדרותם, אבל על פי הגרסה השנייה לא ניתן (למשל הטור הקבוע ...,1,1,1).

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] מבחן המנה של ד'אלמבר

[עריכה] גרסה ראשונה

יהי $\sum_{n=1}^\infty a_n$ טור חיובי אינסופי שכמעט כל איבריו שונים מ-0.

אם כמעט לכל אברי הסדרה $\frac{a_{n+1}}{a_n} \le q$ עבור $\!\, q<1$ אז הטור מתכנס.
אם כמעט לכל אברי הסדרה, $\frac{a_{n+1}}{a_n} \ge 1$ אז הטור מתבדר.

[עריכה] גרסה שנייה

יהי $\sum_{n=1}^\infty a_n$ טור חיובי אינסופי. נסמן $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$ .

אם $\!\, q<1$ הטור מתכנס.
אם $\!\, q>1$ הטור מתבדר.
אם $\!\, q=1$ המבחן אינו מספק מידע על התכנסות או התבדרות הטור.

מבחן ד'אלמבר חלש יותר ממבחן השורש של קושי. כלומר - מבחן השורש מכריע עבור כל טור שעבורו מבחן המנה מכריע, אבל מבחן המנה לא בהכרח מכריע עבור כל טור שעבורו מבחן השורש מכריע. עם זאת, יש פעמים רבות בהן יותר נוח להשתמש במבחן המנה מאשר במבחן השורש.

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] מבחן ראבה

יהי $\sum_{n=1}^\infty a_n$ טור חיובי אינסופי. נסמן $\lim_{n\rightarrow\infty}n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)=q$ .

אם $\!\, q>1$ הטור מתכנס.
אם $\!\, q<1$ הטור מתבדר.
אם $\!\, q=1$ המבחן אינו מספק מידע על התכנסות או התבדרות הטור.

מבחן זה מהווה עידון של מבחן המנה, והוא עשוי להצליח במקום שמבחן המנה נכשל (למשל, בהוכחת ההתכנסות של הטור $\ \sum \frac{1}{n^2}$ ).

[עריכה] מבחן העיבוי

[עריכה] משפט

תהא $\!\, a_n$ סדרה חיובית שיורדת מונוטונית לאפס, אז הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n$ מתכנס אם ורק אם $\sum_{n=1}^\infty 2^n\cdot a_{2^n}$ מתכנס. בלשון ציורית: די להחליף כל קבוצה של $\,2^n$ איברים ב- $\,2^n$ מופעים של האיבר הראשון (או האחרון) בקבוצה. הטור שיתקבל מתכנס ומתבדר יחד עם הטור המקורי. לעתים נקרא גם מבחן הדילול.

[עריכה] דוגמאות

נוכיח כי הטור $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\cdot \ln(n)}$ מתבדר. על פי מבחן העיבוי, טור זה מתכנס ומתבדר יחד עם הטור $\sum_{n=2}^\infty \frac{2^n}{2^n\cdot \ln(2^n)}$ , ולאחר צמצום נקבל את הטור $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\cdot \ln2}$ . כעת, באמצעות מבחן ההשוואה עם הטור $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n}$ שידוע כי הוא מתבדר, נסיים את ההוכחה.

[עריכה] טורים כלליים

[עריכה] התכנסות בהחלט

נאמר על טור שהוא מתכנס בהחלט אם הטור של ערכיהם המוחלטים של איבריו מתכנס. טור מתכנס בהחלט הוא טור מתכנס, ולכן אם נתון טור לא חיובי, ניתן לבדוק האם הוא מתכנס בהחלט תוך שימוש במבחני השוואה לטורים חיוביים (כי הטור של ערכיו המוחלטים הוא טור חיובי), ומכך להסיק על התכנסותו. טור שמתכנס אך אינו מתכנס בהחלט נקרא מתכנס בתנאי. לטורים מסוג זה קיימים מבחני התכנסות נוספים.

[עריכה] מבחן לייבניץ

[עריכה] משפט

תהי $\!\, a_n$ סדרה חיובית שיורדת מונוטונית לאפס. אזי הטור המתחלף שנוצר על ידה $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \cdot a_n$ מתכנס.

יתר על כן, זנב הטור קטן תמיד בערכו המוחלט מגודל האיבר הראשון בו. כלומר: $| \sum_{n=m}^\infty (-1)^n \cdot a_n | \le |a_m|$ .

[עריכה] דוגמאות

נביט בטור ההרמוני המתחלף: $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \cdot \frac{1}{n}$ . הסדרה $\!\, \frac{1}{n}$ היא סדרה חיובית מונוטונית יורדת לאפס, ולכן על פי מבחן לייבניץ, הטור מתכנס. כהערה צדדית נציין כי ניתן להוכיח שסכום טור זה הוא $\!\, \ln 2$ .

[עריכה] מבחן דיריכלה

[עריכה] משפט

תהי $\!\, a_n$ סדרה שיורדת מונוטונית לאפס ותהי $\!\, b_n$ סדרה שעבורה קיים מספר חיובי M כך שלכל N טבעי מתקיים $| \sum_{n=1}^N{b_n} | < M$ . בתנאים אלה הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n \cdot b_n$ מתכנס.

נשים לב כי מבחן דיריכלה מכליל את מבחן לייבניץ מבחינת הוכחת התכנסות הטור (אך ללא הערכת גודל השארית שכלול במשפט לייבניץ) שכן מבחן לייבניץ הוא המקרה הפרטי של מבחן דיריכלה כאשר $\!\, b_n = (-1)^n$ .

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] מבחן אבל

[עריכה] משפט

תהי $\!\, a_n$ סדרה מונוטונית חסומה ויהי $\sum_{n=1}^\infty{b_n}$ טור מתכנס. אזי בתנאים אלה הטור $\sum_{n=1}^\infty a_n \cdot b_n$ מתכנס.

[עריכה] דוגמאות

קטגוריה: אנליזה מתמטית

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

מבחני התכנסות לטורים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

תוכן עניינים

[עריכה] טורים חיוביים

[עריכה] מבחן ההשוואה

[עריכה] גרסה ראשונה

[עריכה] גרסה שנייה

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] מבחן השורש של קושי

[עריכה] גרסה ראשונה

[עריכה] גרסה שנייה

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] מבחן המנה של ד'אלמבר

[עריכה] גרסה ראשונה

[עריכה] גרסה שנייה

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] מבחן ראבה

[עריכה] מבחן העיבוי

[עריכה] משפט

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] טורים כלליים

[עריכה] התכנסות בהחלט

[עריכה] מבחן לייבניץ

[עריכה] משפט

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] מבחן דיריכלה

[עריכה] משפט

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] מבחן אבל

[עריכה] משפט

[עריכה] דוגמאות

Views

ניווט

קהילה

חיפוש

שפות אחרות