Meetkundige rij

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Een meetkundige rij is in de wiskunde een rij getallen waarin elk volgend element ontstaat door zijn voorganger met een constante (de reden) te vermenigvuldigen. Als a het eerste element is van de rij en r de reden, dan ligt de gehele rij vast. Het begin van de rij is dan:

$a, ar, ar^2, ar^3,\ldots$

Inhoud

1 Het algemene element
2 Partiële sommen
3 Voorbeeld
4 Afleiding van de formule voor de partiële som
5 Toepassingen
6 Zie ook

[bewerk] Het algemene element

Het eerste element is:

$t_1=a\,$

Het ne element is recursief gegeven door:

$t_n=r\cdot t_{n-1}\!$ ,

zodat

$t_n=ar^{n-1}\!$ .

[bewerk] Partiële sommen

De partiële som $s n$ van de eerste nelementen van een meetkundige rij met eerste element a en reden r wordt voor r ≠ 1 gegeven door

$s_n= \sum_{k=1}^n t_k =a\frac{1-r^n}{1-r}$ .

Voor $r = 1$ hebben we de triviale recursie $t n = t n - 1$ , en dus geldt

$s_n=na\!$ .

Als |r| < 1, is de meetkundige reeks convergent en kan de som s (de som van "alle" elementen) berekend worden:

$s = \sum_{k=1}^\infty t_k =\frac{a}{1-r}$

Voor |r| > 1 is de meetkundige reeks divergent.

[bewerk] Voorbeeld

Gegeven is de volgende rij: 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... Dit is een meetkundige rij met eerste element 1 en reden 1/2.

Het 15^eelement is

$t_{15}=ar^{15-1}=2^{-14}\!$ .

De som van de eerste 15 elementen is

$s_{15}=a\frac{1-r^{15}}{1-r}=1 \frac{1-(\tfrac{1}{2})^{15}}{1-\tfrac{1}{2}} = 2(1-2^{-15})=2-2^{-14}$ .

De som is

$s=a\frac{1}{1-r}=2$ .

[bewerk] Afleiding van de formule voor de partiële som

Laat $t 1 = a$ . Dan geldt zowel:

$s_n = \sum_{k=1}^n ar^k = a + ar + ar^2 + \dots + ar^{n-1}$

als:

$rs_n =ar + ar^2 + ar^3 + \dots + ar^{n-1} + ar^n\,$ .

We trekken eerste uitdrukking af van dce tweede en vinden:

$rs_n-s_n=ar^n - a\,$ ,

zodat:

(r - 1) s n = a (r n - 1)

en dus:

$s_n= a\frac{1-r^n}{1-r}$ , mits $r\neq1$ ,

Merk op dat we voor $| r | < 1$ hebben dat $\lim_{n \to \infty} r^n = 0$ en daarmee:

$s=\lim_{n \to \infty} s_n=\lim_{n \to \infty} a \frac{1-r^n}{1-r}=a \frac{1}{1-r}$ .

[bewerk] Toepassingen

Meetkundige rijen komen vaak voor. Het meest bekende voorbeeld is dat van interestberekeningen: bij een vast rentepercentage van r (per periode van bijvoorbeeld een jaar) groeit het kapitaal elke periode aan met een factor (reden) 1+r. Een oorspronkelijk kapitaal K is na n perioden aangegroeid tot K(1+r)^{^n}. Andere voorbeelden betreffen de hoogte die een stuiterende bal bereikt na n keer stuiteren, en de intensiteit van licht dat n keer weerkaatst is. Repeterende decimale breuken kunnen worden opgevat als meetkundige reeksen en daardoor eenvoudig worden omgezet in natuurlijke breuken.

[bewerk] Zie ook

Categorie: Analyse

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

Meetkundige rij

Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie

Inhoud

[bewerk] Het algemene element

[bewerk] Partiële sommen

[bewerk] Voorbeeld

[bewerk] Afleiding van de formule voor de partiële som

[bewerk] Toepassingen

[bewerk] Zie ook

Views

Navigatie

Informatie

Zoeken

in andere talen