משפט לסקר-נתר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

משפט לסקר-נתר הוא משפט בתורת החוגים, המספק, עבור כל אידאל של חוג קומוטטיבי נותרי, פירוק בתור חיתוך של מספר סופי של אידאלים פרימריים. הפירוק שבו מספר האידאלים מינימלי הוא יחיד מבחינת הרדיקלים של האידאלים הפרימריים המשתתפים בו.

את המשפט הוכיח אלוף השחמט עמנואל לסקר עבור חוגי פולינומים בכמה משתנים מעל שדה, ואמי נתר הכלילה אותו לכל חוג נותרי.

[עריכה] ניסוח המשפט

יהי $\ A$ חוג נותרי וקומוטטיבי, ויהי $\ I$ אידאל של $\ A$ . אזי קיים $\ n$ מינימלי כך שקיימים אידאלים פרימריים $\ Q_1,Q_2,...Q_n$ שמקיימים $\ I=Q_1 \cap \ Q_2 \cap ... \cap \ Q_n$ . בנוסף, הרדיקלים $\ \sqrt{Q_1}, \sqrt{Q_2}, ... ,\sqrt{Q_n}$ הם יחידים (עד כדי סדר) לכל קבוצה של אידאלים פרימריים שמקיימת את התנאים לעיל.

[עריכה] הוכחת הקיום

למה ראשונה: בחוג נותרי כל אידאל הוא חיתוך של מספר סופי של אידאלים אי פריקים.

הוכחה: נניח בשלילה שקיימים אידאלים שאינם חיתוך של מספר סופי של אידאלים אי פריקים. על-פי עקרון המקסימום, המתקיים בחוגים נותריים, ניתן להניח שבקבוצה יש איבר מקסימלי $\ M$ . $\ M$ בוודאי אינו פריק, ולכן ניתן לרשום $\ M=A \cap \ B$ כאשר $\ M\subsetneq\ A,B$ . מתוך המקסימליות של $\ M$ אנו יכולים להציג את $\ A$ ו $\ B$ בתור חיתוך סופי של אידאלים אי פריקים - $\ A= \cap \ I_i, B= \cap \ J_j$ . לכן בוודאי $\ M=A \cap \ B = \cap \ I_i \cap \ J_j$ ולכן M הוא חיתוך של מספר סופי של אידאלים אי פריקים, בסתירה להנחה.

למה שנייה: בחוג קומוטטיבי נותרי, כל אידאל אי פריק $\ A$ הוא פרימרי.

הוכחה: נניח ש $\ Q$ הוא אינו פרימרי ונוכיח שהוא אינו אי פריק, ולכן בוודאי אם אידאל הוא אי פריק הוא גם חייב להיות פרימרי. כעת $\ Q$ אינו פרימרי, ולכן קיימים איברים $\ b,c \in \ A$ כך ש $\ c \not \in \ Q$ וגם $\forall \ n:\ b^n \not \in \ Q$ . נסמן $\ I_k=\{x \in \ A | xb^k \in \ Q\}$ . מכיוון ש $\ Q$ הוא אידאל, אז אם $\ xb^k \in \ Q$ אז גם אם נכפול אותו באיבר כלשהו הוא יישאר באידאל ולכן גם $\ xb^{k+1} \in \ Q$ . אנו מקבלים את השרשרת העולה $\ ...I_{k-1} \subset \ I_k \subset \ I_{k+1} \subset \ ...$ מתוך נותריות השרשרת חייבת להעצר ולכן קיים $\ l$ כך ש $\ I_l = I_{l+1}$ . לכן, אם $\ xb^{l+1} \in \ Q$ אזי $\ xb^l \in \ Q$ .

כעת נסתכל על הקבוצות $\ M=Q + Ab^l$ ו $\ N=Q + Ac$ . הן בוודאי שונות מ $\ Q$ מכיוון ש $\ b^l \not \in Q$ ו $\ c \not \in Q$ . נוכיח ש $\ (Q + Ab^l) \cap \ (Q + Ac) = Q$ . ברור ש $\ Q \subset \ M \cap \ N$ מכיוון ש $\ Q \subsetneq \ M$ וגם $\ Q \subsetneq \ N$ . נראה ש $\ M \cap \ N \subset \ Q$ . ניקח איבר בחיתוך, ונציג אותו כאיבר כל אחד מהקבוצות: $\ q + ab^l=q' + a'c$ כאשר $\ q,q' \in \ Q$ ו $\ a,a' \in \ A$ . נכפול את שני צידי המשוואה ב $\ b$ ונקבל $\ qb + ab^{l+1}=q'b + a'bc$ .

עכשיו, נתון לנו ש $\ bc \in \ Q$ ומכיוון ש $\ Q$ הוא אידאל אז $\ a'bc \in \ Q$ . מכיוון ש $\ Q$ אידאל גם $\ qb,q'b \in \ Q$ . זה גורר שהאיבר היחיד שנותר במשוואה גם כן שייך ל $\ Q$ : $\ ab^{l+1} \in \ Q$ . אבל הראנו שזה גורר ש $\ ab^l \in \ Q$ . ולכן $\ q + ab^l \in \ Q$ , כלומר כל איבר כללי בחיתוך שייך ל $\ Q$ ולכן $\ M \cap \ N \subset \ Q$ .