ebooksgratis.com

See also ebooksgratis.com: no banners, no cookies, totally FREE.

CLASSICISTRANIERI HOME PAGE - YOUTUBE CHANNEL
Privacy Policy Cookie Policy Terms and Conditions
משפט הסינוסים – ויקיפדיה

משפט הסינוסים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

משפט הסינוסים עבור משולש נתון קובע כי חילוק צלע בסינוס הזווית שמולה, שווה לחילוק של כל צלע אחרת בסינוס הזווית שמול הצלע האחרת, ויחס זה שווה לקוטר המעגל החוסם את המשולש. משפט הסינוסים מבוטא בנוסחה הבאה:

{a \over \sin A}={b \over \sin B}={c \over \sin C}=2R

כאשר R הוא רדיוס המעגל החוסם.

תוכן עניינים

[עריכה] הוכחה

[עריכה] א

שטח המשולש הגדול שווה ל-

\ S = \frac{1}{2} c \cdot h = \frac{1}{2} c b \sin A

אבל באותו אופן שווה גם ל-

\ S = \frac{1}{2} c \cdot h = \frac{1}{2} c a \sin B

נשווה בין הביטויים, נצמצם ב c/2 ונקבל ש-

\ b \sin A = a \sin B

או

\ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}

מאחר שזה נכון ל-2 זוויות שנבחרו באופן שרירותי, זה נכון לכל זוג זוויות במשולש.

[עריכה] ב

כעת, נסתכל במשולש DBC הנמצא בתוך המעגל החוסם. במשולש ישר זווית זה

\ a = 2R \sin D

אבל זווית D שווה לזווית A כי הן נשענות על אותה קשת, לכן

\ a = 2R \sin A

או

\ \frac{a}{ \sin A} = 2R

כנדרש.

נשים לב, שמהחלק השני של ההוכחה נובע בנקל החלק הראשון של הטענה

\ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

שכן הבחירה בצלע a ובזווית שמולה A הייתה שרירותית ויכולנו באותה מידה לבחור בצלע b ובזווית שמולה B.

[עריכה] ראו גם

מיזמי קרן ויקימדיה
ויקיספר ספר לימוד בוויקיספר: רשימת נוסחאות בטריגונומטריה


aa - ab - af - ak - als - am - an - ang - ar - arc - as - ast - av - ay - az - ba - bar - bat_smg - bcl - be - be_x_old - bg - bh - bi - bm - bn - bo - bpy - br - bs - bug - bxr - ca - cbk_zam - cdo - ce - ceb - ch - cho - chr - chy - co - cr - crh - cs - csb - cu - cv - cy - da - de - diq - dsb - dv - dz - ee - el - eml - en - eo - es - et - eu - ext - fa - ff - fi - fiu_vro - fj - fo - fr - frp - fur - fy - ga - gan - gd - gl - glk - gn - got - gu - gv - ha - hak - haw - he - hi - hif - ho - hr - hsb - ht - hu - hy - hz - ia - id - ie - ig - ii - ik - ilo - io - is - it - iu - ja - jbo - jv - ka - kaa - kab - kg - ki - kj - kk - kl - km - kn - ko - kr - ks - ksh - ku - kv - kw - ky - la - lad - lb - lbe - lg - li - lij - lmo - ln - lo - lt - lv - map_bms - mdf - mg - mh - mi - mk - ml - mn - mo - mr - mt - mus - my - myv - mzn - na - nah - nap - nds - nds_nl - ne - new - ng - nl - nn - no - nov - nrm - nv - ny - oc - om - or - os - pa - pag - pam - pap - pdc - pi - pih - pl - pms - ps - pt - qu - quality - rm - rmy - rn - ro - roa_rup - roa_tara - ru - rw - sa - sah - sc - scn - sco - sd - se - sg - sh - si - simple - sk - sl - sm - sn - so - sr - srn - ss - st - stq - su - sv - sw - szl - ta - te - tet - tg - th - ti - tk - tl - tlh - tn - to - tpi - tr - ts - tt - tum - tw - ty - udm - ug - uk - ur - uz - ve - vec - vi - vls - vo - wa - war - wo - wuu - xal - xh - yi - yo - za - zea - zh - zh_classical - zh_min_nan - zh_yue - zu -